Momento de tiempo de Markov

Un momento de tiempo de Markov (en la teoría de procesos aleatorios ) es una variable aleatoria que no depende del futuro del proceso aleatorio en consideración .

Caso discreto

Sea dada una secuencia de variables aleatorias . Entonces , una variable aleatoria se llama momento de Markov (del tiempo) si para cualquier evento depende solo de variables aleatorias . $\{Y_{n}\}_{{n\geq 0}}$ $\tau$ $n\geq 0$ $\{\tau \leq n\}$ $Y_{0},\ldots,Y_{n}$

Ejemplo

Sea una secuencia de variables aleatorias normales independientes. Dejar , y $\{Y_{n}\}_{{n\geq 0}}$ $L\in {\matemáticas {R}}$

\tau =\inf\{n\geq 0\mid Y_{n}\geq L\}

es el momento en que el proceso alcanza por primera vez el nivel . Entonces es un momento de Markov, porque si y solo si existe tal que . Por lo tanto, el evento depende solo del comportamiento del proceso hasta el punto en el tiempo . $\{Y_{n}\}$ $L$ $\tau$ $\tau \leqn$ $i\in {\mathbb {N)),\;0\leq i\leq n$ $Y_{i}\geqL$ $\{\tau \leq n\}$ $norte$

deja ahora

\sigma =\sup\{n\geq 0\mid Y_{n}\geq L\}

es el momento en que el proceso alcanzó por última vez el nivel . Entonces no es un momento de Markov, porque el evento implica el conocimiento del comportamiento del proceso en el futuro. $\{Y_{n}\}$ $L$ $\sigma$ $\{\sigma \leq n\}$

Caso general

Sea dado un espacio de probabilidad con filtrado , donde . Entonces la variable aleatoria que toma valores en se denomina momento de Markov con respecto a la filtración dada, si . $(\Omega ,{\mathcal {F}),\mathbb {P} )$ $\{{\mathcal {F}}_{t}\}_{t\in T}$ $T\subconjunto [0,\infty)$ $\tau$ $T\cup \{\infty \}$ $\{\tau \leq t\}\in {\mathcal {F}}_{t},\quad \forall t\in T$

Dado un proceso y son sus σ-álgebras naturales, entonces decimos que es un momento de Markov con respecto al proceso . $\{X_{t}\}_{t\en T}$ ${\mathcal {F}}_{t}=\sigma (X_{s}\mid s\leq t)$ $\tau$ $\{X_{t}\}$

Un momento de Markov se denomina momento de parada si es casi seguro finito, es decir

{\mathbb {P}}(\tau <\infty)=1

Propiedades

Si y son momentos de Markov, entonces $\tau$ $\sigma$

$\tau +\sigma$ es el momento de Markov;
$\tau \cuña \sigma \equiv \min(\tau ,\sigma )$ es el momento de Markov;
$\tau \vee \sigma \equiv \max(\tau ,\sigma )$ es el momento de Markov.

Nota : el momento de la parada puede no tener una expectativa matemática finita.

Ejemplo

Sea el proceso estándar de Wiener . deja _ definamos $\{W_{t}\}_{{t\geq 0}}$ $\alfa >0$

\tau =\inf\{t\geq 0\mid W_{t}\geq \alpha \}

Entonces es un momento de Markov que tiene una distribución dada por la densidad de probabilidad $\tau$

f_{{\tau }}(t)={\frac {\alpha }{{\sqrt {2\pi t^{3}}}}}e^{{-{\frac {\alpha ^{2} {2t}}}},\quad t\geq 0

En particular , el momento de la parada. Sin embargo, $\tau$

{\mathbb {E}}\tau =\infty