Proceso de salchicha

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El proceso de Wiener en la teoría de procesos aleatorios es un modelo matemático del movimiento browniano o caminata aleatoria con tiempo continuo .

Definición

Un proceso aleatorio , donde se llama proceso de Wiener, si $W_{t}$ $t\geq 0$

$W_{0}=0$ casi seguro
$W_{t}$ es un proceso con incrementos independientes .
$W_{t}-W_{s}\sim \mathrm {N} (0,\sigma ^{2}(ts))$ . . $\forall 0\leq s<t<\infty$

donde es una distribución normal con media y varianza . El valor , que es constante para el proceso, se considerará además igual a . ${\ estilo de visualización \ mathrm {N} (0, \ sigma ^ {2} (ts))}$ ${\ estilo de visualización 0}$ ${\ estilo de visualización \ sigma ^ {2} (ts)}$ $\sigma^{2}$ $una$

Definición equivalente:

$W_{t}$ es un proceso gaussiano .
${\ estilo de visualización \ mathbb {E} W_ {t} = 0}$ , . ${\ estilo de visualización \ forall t \ geqslant 0}$
${\text{cov}}(W_{t},W_{s})=\min(t,s)$ , . ${\ estilo de visualización \ para todos los t, s \ geqslant 0}$

Continuidad de trayectorias

Hay un proceso de Wiener único en el que casi todas sus trayectorias son continuas en todas partes . Dado que generalmente se considera este proceso, la condición de continuidad de las trayectorias a menudo se incluye en la definición del proceso de Wiener.

Propiedades del proceso de Wiener

$W_{t}$ es un proceso gaussiano .
$W_{t}$ es un proceso de Markov .
$W_{t}\sim \mathrm {N} (0,t)$ . En consecuencia , y $\mathbb{E} [W_{t}]=0$ $\mathrm {D} [W_{t}]=t$

$\mathrm {cov} (W_{s},W_{t})=\min(s,t)$ .
$W_{t}$ - martingala. Aquí por martingala queremos decir ${\displaystyle \mathbb {E} [W_{t}|W_{s},s\leqslant \tau ]=EW_{\tau ))$
Si es un proceso de Wiener, entonces también será un proceso de Wiener. $W_{t}$ $tW_{1/t},t>0$ ${\ estilo de visualización 0, t = 0}$

El proceso de Wiener es invariante en escala o autosimilar . Si es un proceso de Wiener, y , entonces $W_{t}$ $c>0$

V_{t}={\frac{1}{\sqrt {c}}}W_{ct}

es también un proceso de Wiener.

La función de correlación para la derivada del proceso de Wiener es la función delta .

Las trayectorias de un proceso de Wiener no son diferenciables en ninguna parte . El derivado (en un sentido generalizado) del proceso de Wiener es el ruido blanco normal .

Para cualquier segmento dado de la trayectoria del proceso de Wiener, la función de variación ilimitada en este segmento es casi segura .

Para el proceso de Wiener es válida la ley del logaritmo iterado .

\limsup \limits _{t\rightarrow \infty }{\frac {W_{t}}{\sqrt {2t\ln \ln t}}}=1

casi probablemente

$\int \limits _{0}^{t}W_{s}ds\sim N(0,t^{3}/3)$

Proceso multidimensional de Wiener

Un proceso de Wiener multidimensional ( -dimensional) es un proceso aleatorio de valor compuesto por procesos de Wiener unidimensionales independientes, es decir $norte$ $\mathbf {W} _{t}$ $\mathrm {R} ^{n}$ $norte$

\mathbf {W} _{t}=\left(W_{t}^{1},\ldots,W_{t}^{n}\right)^{\top},\quad t\geq 0

donde los procesos son conjuntamente independientes . $\left\{W_{t}^{i}\right\},\;i=1,\ldots,n$

Conexión con procesos físicos

El proceso de Wiener describe el movimiento browniano de una partícula que realiza movimientos aleatorios bajo la influencia de los impactos de las moléculas de fluido. La constante en este caso depende de la masa de la partícula y la viscosidad del líquido. $\sigma^{2}$

Enlaces

El Mundo Estocástico - Una Introducción Simple a las Ecuaciones Diferenciales Estocásticas