Matriz de transición

En álgebra lineal, la base de un espacio vectorial de dimensión es una secuencia de vectores tal que cualquier vector en el espacio puede representarse únicamente como una combinación lineal de vectores base. Con una base dada , los operadores se representan como matrices cuadradas . Dado que a menudo es necesario trabajar con varias bases en el mismo espacio vectorial, es necesario tener una regla para trasladar las coordenadas de vectores y operadores de base a base. Tal transición se lleva a cabo utilizando la matriz de transición . $norte$ $norte$ $(\alfa _{1},...,\alfa _{n})$

Definición

Si los vectores se expresan en términos de vectores como: $\mathbf {b_{1}} ,\cdots ,\mathbf {b_{n}}$ $\mathbf {a_{1}} ,\cdots ,\mathbf {a_{n}}$

\mathbf {b} _{1}=\alpha _{11}\mathbf {a} _{1}+\alpha _{21}\mathbf {a} _{2}+\ldots +\alpha _ {n1} \ mathbf {a} _ {n}

\mathbf {b} _{2}=\alpha _{12}\mathbf {a} _{1}+\alpha _{22}\mathbf {a} _{2}+\ldots +\alpha _ {n2} \ mathbf {a} _ {n}

\ldots

\mathbf {b} _{n}=\alpha _{1n}\mathbf {a} _{1}+\alpha _{2n}\mathbf {a} _{2}+\ldots +\alpha _ {nn} \ mathbf {a} _ {n}

entonces la matriz de transición de base a base ) será: $(\mathbf {a_{1}} ,\cdots ,\mathbf {a_{n}} )$ $(\mathbf {b_{1)) ,\cdots ,\mathbf {b_{n))$

{\begin{pmatrix}\alpha_{11}&\alpha_{12}&...&\alpha_{1n}\\\alpha_{21}&\alpha_{22}&. ..&\alfa _{2n}\\...&...&...&...\\\alfa _{n1}&\alfa _{n2}&...&\alfa_{ nn}\end{matrix}}

Uso

Al multiplicar la matriz inversa a la matriz de transición por una columna compuesta por los coeficientes de la expansión de un vector en términos de la base , obtenemos el mismo vector expresado en términos de la base . $a_{1},a_{2},\ldots,a_{n}$ $b_{1},b_{2},\ldots,b_{n}$

Ejemplo

Para rotar un vector en un ángulo θ en sentido antihorario, puedes multiplicar la matriz de rotación por él:

{\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix }}{\begin{bmatriz}x\\y\end{bmatriz}}

Matrices de las transformaciones más comunes
	En coordenadas bidimensionales	En coordenadas bidimensionales homogéneas	En coordenadas tridimensionales homogéneas
Escalada Cuando a , b y c son los factores de escala a lo largo de los ejes OX , OY y OZ , respectivamente :	${\begin{bmatriz}a&0\\0&b\end{bmatriz}}$	${\begin{bmatrix}a&0&0\\0&b&0\\0&0&1\end{bmatrix}}$	${\begin{bmatriz}a&0&0&0\\0&b&0&0\\0&0&c&0\\0&0&0&1\end{bmatriz))$
Giro Cuando φ es el ángulo de rotación de la imagen en un espacio bidimensional	Agujas del reloj ${\begin{bmatriz}\cos \phi &\sin \phi \\-\sin \phi &\cos \phi \end{bmatriz))$	${\begin{bmatriz}\cos \phi &\sin \phi &0\\-\sin \phi &\cos \phi &0\\0&0&1\end{bmatriz))$	Relativo a OX por el ángulo φ ${\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&\cos \phi &-\sin \phi &0\\0&\sin \phi &\cos \phi &0\\0&0&0&1\end{bmatrix))$	Relativo a OY por el ángulo ψ ${\begin{bmatrix}\cos \psi &0&\sin \psi &0\\0&1&0&0\\-\sin \psi &0&\cos \psi &0\\0&0&0&1\end{bmatrix))$
	En sentido anti-horario ${\begin{bmatriz}\cos \phi &-\sin \phi \\\sin \phi &\cos \phi \end{bmatriz))$		Relativo a OZ por el ángulo χ ${\begin{bmatrix}\cos \chi &-\sin \chi &0&0\\\sin \chi &\cos \chi &0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix))$
Moviente Para a , b y c - desplazamiento a lo largo de los ejes OX , OY y OZ , respectivamente .	En coordenadas no homogéneas, no tiene representación matricial.	${\begin{bmatrix}1&0&a\\0&1&b\\0&0&1\end{bmatrix}}$	${\comienzo{bmatriz}1&0&0&a\\0&1&0&b\\0&0&1&c\\0&0&0&1\end{bmatriz}}$

Propiedades

La matriz de transición es no degenerada . Es decir, el determinante de esta matriz no es igual a cero.
$P_{{e\rightarrow e'}}^{{-1}}=P_{{e'\rightarrow e}}$

Ejemplo de búsqueda de matriz

Encontremos la matriz de transición de la base a la base identidad por transformaciones elementales $a_{{1}}={\begin{pmatrix}1\\2\\-1\end{pmatrix}},a_{{2}}={\begin{pmatrix}-1\\-4\\2 \end{pmatrix}},a_{{3}}={\begin{pmatrix}5\\1\\0\end{pmatrix}}$ $b_{{1}}={\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}},b_{{2}}={\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{ pmatrix}},b_{{3}}={\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}$

$\left({\begin{array}{ccc|ccc}1&-1&5&1&0&0\\2&-4&1&0&1&0\\-1&2&0&0&0&1\end{array}}\right)\rightarrow \left({\begin{array}{ ccc|ccc}1&0&0&2&-10&-19\\0&1&0&1&-5&-9\\0&0&1&0&1&2\end{matriz}}\right)$ Como consecuencia $P_{{a\rightarrow b}}={\begin{pmatrix}2&-10&-19\\1&-5&-9\\0&1&2\end{pmatrix}}$

Véase también

Enlaces

Matrices de transición de base a base