Matriz de rotación

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La matriz de rotación (o matriz de coseno director ) es una matriz ortogonal [1] , que se utiliza para realizar su propia transformación ortogonal en el espacio euclidiano . Al multiplicar cualquier vector por una matriz de rotación, se conserva la longitud del vector. El determinante de la matriz de rotación es igual a uno.

Generalmente se cree que, a diferencia de la matriz de transición, al rotar el sistema de coordenadas (base), cuando se multiplica por la matriz de rotación de un vector columna, las coordenadas del vector se transforman de acuerdo con la rotación del vector mismo (y no la rotación de los ejes de coordenadas ; es decir, en este caso, las coordenadas del vector rotado se obtienen en el mismo sistema de coordenadas fijo). Sin embargo, la diferencia entre las dos matrices está solo en el signo del ángulo de rotación, y se puede obtener una de la otra reemplazando el ángulo de rotación por el opuesto; ambos son mutuamente inversos y pueden obtenerse uno del otro por transposición.

Matriz de rotación en espacio 2D

En el espacio 2D, la rotación se puede describir mediante un solo ángulo con la siguiente matriz de transformación lineal en coordenadas cartesianas : $\;\theta$

M(\theta )={\begin{pmatrix}\cos {\theta }&\mp \sin {\theta }\\\pm \sin {\theta }&\cos {\theta }\end{pmatrix))

M(\theta )=\exp \left({\theta }\cdot {\begin{bmatrix}0&\mp 1\\\pm 1&0\end{bmatrix}}\right)

La rotación se realiza multiplicando la matriz de rotación por un vector de columna que describe el punto rotado:

{\begin{bmatrix}x'\\y'\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \theta &\mp \sin \theta \\\pm \sin \theta & \cos \theta \\\end{bmatriz}}{\begin{bmatriz}x\\y\\\end{bmatriz}}.

Las coordenadas ( x ′, y ′) como resultado de la rotación del punto ( x, y ) son:

x'=x\cos \theta \mp y\sin \theta ,

y'=\pm x\sin \theta +y\cos \theta .

Los signos específicos en las fórmulas dependen de si el sistema de coordenadas es diestro o zurdo, y si la rotación es en sentido horario o antihorario. El signo superior es para la convención habitual del sistema de coordenadas a la derecha y la rotación positiva en sentido contrario a las agujas del reloj (el mismo signo es válido para el sistema de coordenadas a la izquierda cuando se selecciona la rotación positiva en el sentido de las agujas del reloj; en las dos combinaciones restantes, el signo inferior).

Matriz de rotación en el espacio 3D

Cualquier rotación en el espacio tridimensional se puede representar como una composición de rotaciones alrededor de tres ejes ortogonales (por ejemplo, alrededor de los ejes de coordenadas cartesianas). Esta composición corresponde a una matriz igual al producto de las tres matrices de rotación correspondientes.

Las matrices de rotación alrededor del eje del sistema de coordenadas cartesianas por un ángulo en el espacio tridimensional con un sistema de coordenadas fijo son: $\alfa$

Rotación alrededor del eje : $X$

M_{x}(\alpha )={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&\cos \alpha &-\sin \alpha \\0&\sin \alpha &\cos \alpha \end{pmatrix)) .

Rotación alrededor del eje : $y$

M_{y}(\alpha )={\begin{pmatrix}\cos \alpha &0&\sin \alpha \\0&1&0\\-\sin \alpha &0&\cos \alpha \end{pmatrix)).

Rotación alrededor del eje : $z$

M_{z}(\alpha )={\begin{pmatrix}\cos \alpha &-\sin \alpha &0\\\sin \alpha &\cos \alpha &0\\0&0&1\end{pmatrix)) .

Matriz de rotación a lo largo de los ejes , , :

X

y

z

M_{x}(\alpha )*M_{y}(\beta )*M_{z}(\gamma )={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&\cos \alpha &-\sin \alpha \\0&\sin \alpha &\cos \alpha \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\cos \beta &0&\sin \beta \\0&1&0\\-\sin \beta &0&\cos \beta \end {pmatrix}}{\begin{pmatrix}\cos \gamma &-\sin \gamma &0\\\sin \gamma &\cos \gamma &0\\0&0&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\ cos \beta \cos \gamma &-\sin \gamma \cos \beta &\sin \beta \\\sin \alpha \sin \beta \cos \gamma +\sin \gamma \cos \alpha &-\sin \ alfa \sin \beta \sin \gamma +\cos \alpha \cos \gamma &-\sin \alpha \cos \beta \\\sin \alpha \sin \gamma -\sin \beta \cos \alpha \cos \ gamma &\sin \alpha \cos \gamma +\sin \beta \sin \gamma \cos \alpha &\cos \alpha \cos \beta \end{pmatrix}}.

En este caso, los ángulos positivos corresponden a la rotación del vector en el sentido contrario a las agujas del reloj en el sistema de coordenadas derecho y en el sentido de las agujas del reloj en el sistema de coordenadas izquierdo, si se mira en contra de la dirección del eje correspondiente [2] . Por ejemplo, al rotar un ángulo alrededor de un eje , el eje va a : . Del mismo modo, y . El sistema de coordenadas correcto está relacionado con la elección de la base correcta (ver regla de gimlet ). ${\ estilo de visualización \ alfa = 90 ^ {\ circ}}$ $z$ $X$ $y$ ${\displaystyle M_{z}(90^{\circ })\cdot \mathbf {e} _{x}=\mathbf {e} _{y))$ ${\displaystyle M_{y}(90^{\circ })\cdot \mathbf {e} _{z}=\mathbf {e} _{x))$ ${\displaystyle M_{x}(90^{\circ })\cdot \mathbf {e} _{y}=\mathbf {e} _{z))$

Matriz de rotación en espacio bidimensional $norte$

Las matrices de rotación de un espacio de dimensión finita de cualquier dimensión superior se pueden escribir exactamente de la misma manera.

Solo es necesario tener en cuenta que para dimensiones espaciales no iguales a tres, es imposible especificar una sola recta ortogonal a dos rectas dadas, y por lo tanto no se puede hablar de rotación alrededor de algún eje, se puede hablar de rotación en algún avión [3] . Todos los puntos, cuando giran en el espacio de cualquier dimensión, a partir de 2, siempre se mueven paralelos a algún plano (bidimensional).

Entonces, de manera bastante similar al caso tridimensional (con la reserva anterior), podemos escribir la matriz de rotación en cualquier plano de coordenadas para cualquier dimensión espacial.

Por ejemplo:

M_{1,2}(\alpha )={\begin{pmatrix}\cos \alpha &-\sin \alpha &0&0&0\\\sin \alpha &\cos \alpha &0&0&0\\0&0&1&0&0\\0&0&0&1&0\\0&0&0&0&1\ fin{pmatrix}}

es la matriz de rotación en el espacio de 5 dimensiones en el plano , $x_{1}x_{2}$

M_{2,4}(\alpha )={\begin{pmatrix}1&0&0&0&0&0&0\\0&\cos \alpha &0&-\sin \alpha &0&0&0\\0&0&1&0&0&0&0\\0&\sin \alpha &0&\cos \alpha &0&0&0\\ 0&0&0&0&1&0&0\\0&0&0&0&0&0&1&0\\0&0&0&0&0&0&1\end{matrix}}

es la matriz de rotación en un espacio de 7 dimensiones en el plano . $x_{2}x_{4}$

Con este enfoque, los signos delante de los senos son aún más fáciles de colocar, ya que están determinados por el orden en que se enumeran los ejes del plano de rotación: cuál se nombra primero, en esa línea antes del seno menos.
Es fácil ver que la matriz de rotación en el plano coincide (lo cual es natural) con la matriz de rotación en el plano , etc., hasta que cambia el ángulo de rotación al opuesto. $x_{1}x_{2}$ $x_{2}x_{1}$
Por lo tanto, tales matrices con índices permutados obviamente no son independientes, y para obtener una rotación arbitraria, basta con incluir cada plano en la composición solo una vez, es decir, solo , y no y . $M_{1,2}(\alfa _{1,2})$ $M_{1,2}(\alfa _{1,2})$ $M_{2,1}(\alfa _{2,1})$

Cambiando el eje de rotación

Sea la matriz de rotación alrededor de un eje con el vector unitario por el ángulo , sea la matriz de rotación alrededor del eje con el vector unitario por el mismo ángulo, y $\;METRO$ $\;norte$ $\;\alfa$ $\;METRO'$ $\;norte'$

\;n'=M''\cdot \;n,

donde es la matriz de rotación que cambia el vector unitario del eje de rotación . Después $\;METRO''$ $\;norte$

M'=M''\cdot M\cdot M''^{\;T},

donde es la matriz transpuesta . $\;M''^{{\;T))$ $\;METRO''$

Permutabilidad de vueltas

Si es una matriz de rotación alrededor de un eje con vector unitario por ángulo , es una matriz de rotación alrededor de un eje con vector unitario por ángulo , entonces es una matriz que describe la rotación resultante de dos rotaciones sucesivas ( y ), ya que $\;M_{1}$ $\;norte$ $\;\alfa$ $\;M_{2}$ $\;metro$ $\;\beta$ $M_{2}\cdot M_{1}$ $\;M_{1}$ $\;M_{2}$

(M_{2}\cdot M_{1})\cdot r=M_{2}\cdot (M_{1}\cdot r).

En este caso, la secuencia de turnos se puede cambiar modificando el turno : $\;M_{1}$

M_{2}\cdot M_{1}=M'_{1}\cdot M_{2},

donde matriz es la matriz de rotación por un ángulo alrededor del eje c con el vector unitario rotado por rotación : $\;M'_{1}$ $\;\alfa$ $\;norte',$ $\;M_{2}$

n'=M_{2}\cdot n,\qquad M'_{1}=M_{2}\cdot M_{1}\cdot M_{2}^{T},

puesto que , dado que la matriz de rotación es una matriz ortogonal ( es la matriz identidad ). Tenga en cuenta que no hay conmutatividad de rotaciones en el sentido habitual, es decir, $M_{2}^{T}\cdot M_{2}=E$ $\;MI$

M_{2}\cdot M_{1}\neq M_{1}\cdot M_{2}.

Expresión de la matriz de rotación en términos de ángulos de Euler

Rotaciones sucesivas alrededor de los ejes por el ángulo de precesión ( ), el ángulo de nutación ( ) y por el ángulo de rotación propia ( ) conducen a la siguiente expresión para la matriz de rotación: $\;Z,X',Z''$ $\alfa$ $\beta$ $\gama$

M(\alpha ,\beta ,\gamma )={\begin{pmatrix}\cos \alpha \cos \gamma -\sin \alpha \cos \beta \sin \gamma &-\cos \alpha \sin \gamma -\sin \alpha \cos \beta \cos \gamma &\sin \alpha \sin \beta \\\sin \alpha \cos \gamma +\cos \alpha \cos \beta \sin \gamma &-\ sin \alpha \sin \gamma +\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma &-\cos \alpha \sin \beta \\\sin \beta \sin \gamma &\sin \beta \cos \gamma & \cos \beta \end{pmatrix}}.

Eje - Eje X rotado por la primera vuelta (por ), - Eje Z rotado por la primera y segunda rotación (por y ). Debido a la permutabilidad de las rotaciones, la matriz reducida corresponde a rotaciones según los ángulos , , alrededor de los ejes Z, X, Z : $\;X'$ $\;\alfa$ $\;Z''$ $\;\alfa$ $\;\beta$ $\;\gama$ $\;\beta$ $\;\alfa$

M(\alpha ,\beta ,\gamma )=M_{Z}(\alpha )\cdot M_{X}(\beta )\cdot M_{Z}(\gamma )

En caso de que las rotaciones se especifiquen en una secuencia diferente, la matriz de rotación se encuentra multiplicando las matrices de rotación alrededor de los ejes de coordenadas cartesianas correspondientes, por ejemplo:

1) Rotación sobre ejes: ${\ estilo de visualización X, Y, X}$
2) En consecuencia: ${\ estilo de visualización X, Y, Z}$
3) ${\ estilo de visualización X, Z, X}$
cuatro) ${\ estilo de visualización X, Z, Y}$
5) ${\ estilo de visualización Y, X, Y}$
6) ${\ estilo de visualización Y, X, Z}$
7) ${\ estilo de visualización Y, Z, X}$
ocho) ${\ estilo de visualización Y, Z, Y}$
9) ${\ estilo de visualización Z, X, Y}$
diez) ${\ estilo de visualización Z, X, Z}$
once) ${\ estilo de visualización Z, Y, X}$
12) ${\ estilo de visualización Z, Y, Z}$

Matriz de rotación alrededor de un eje arbitrario

Sea el eje de rotación dado por un vector unitario , y el ángulo de rotación . ${\sombrero {\mathbf {v} }}=(x,y,z)$ $\ theta$

Entonces la matriz de rotación en coordenadas cartesianas es:

M({\hat {\mathbf {v} )),\theta )={\begin{pmatrix}\cos \theta +(1-\cos \theta )x^{2}&(1-\cos \theta )xy-(\sin \theta )z&(1-\cos \theta )xz+(\sin \theta )y\\(1-\cos \theta )yx+(\sin \theta )z&\cos \theta +( 1-\cos \theta )y^{2}&(1-\cos \theta )yz-(\sin \theta )x\\(1-\cos \theta )zx-(\sin \theta )y&( 1-\cos \theta )zy+(\sin \theta )x&\cos \theta +(1-\cos \theta )z^{2}\end{pmatrix}}

Expresando la matriz de rotación en términos de un cuaternión

Si se da un cuaternión , entonces la matriz de rotación correspondiente es: ${\ estilo de visualización q = (w, x, y, z)}$

Q={\begin{bmatrix}1-2y^{2}-2z^{2}&2xy-2zw&2xz+2yw\\2xy+2zw&1-2x^{2}-2z^{2}&2yz-2xw\\2xz- 2yw&2yz+2xw&1-2x^{2}-2y^{2}\end{bmatriz}}.

Propiedades de la matriz de rotación

Si es una matriz que especifica una rotación alrededor del eje por un ángulo , entonces: $\matemáticas {M}$ ${\vec{n}}$ $\varphi$

$|\mathbf {M} {\vec {v}}|=|{\vec {v}}|$ $\forall {\vec {v}}$
$\mathbf {M} {\vec {n}}={\vec {n}}$
$(\mathbf {M} {\vec {v)),{\vec {v)))=(1-\cos \varphi )({\vec {n))\cdot {\vec {v)))^ {2}+({\vec {v)))^{2}\cos \varphi$
$\operatorname {Tr} (\mathbf {M} )=n-2+2\cos \varphi$ ( traza de la matriz de rotación), donde n es la dimensión del espacio (el tamaño de la matriz).
$\det \mathbf{M} =1$ (la matriz tiene determinante unitario ).
La matriz de rotación inversa se obtiene por la transposición habitual de la matriz de rotación hacia adelante, es decir . $\mathbf {M} ^{\mathrm {-1} }=\mathbf {M} ^{\mathrm {T} }$
Para un espacio tridimensional (matrices ): si las filas (o columnas de una matriz) se consideran como coordenadas de vectores , entonces se cumplen las siguientes relaciones: $3\veces 3$ ${\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}$
- $|{\vec {a}}|=|{\vec {b}}|=|{\vec {c}}|=1$
- ${\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=0,{\vec {b}}\cdot {\vec {c}}=0,{\vec {c}}\cdot {\vec {a}}=0$
- ${\vec {a}}\times {\vec {b}}={\vec {c}},{\vec {b}}\times {\vec {c}}={\vec {a}}, {\vec {c}}\times {\vec {a}}={\vec {b}}$
Las dos primeras propiedades [4] , que significan la condición de ortogonalidad de la matriz , también son ciertas para una dimensión espacial arbitraria (tamaño de la matriz).

Notas

↑ La ortogonalidad de una matriz significa que su matriz inversa es igual a la matriz traspuesta : A −1 = A T .
↑ Es decir, si observa el plano de rotación desde el lado del medio espacio, donde los valores de las coordenadas del eje alrededor del cual se realiza la rotación son positivos.
↑ También podemos hablar de rotación en un plano para el espacio tridimensional, por ejemplo, la rotación alrededor de un eje es rotación en un plano ; sin embargo, para el espacio tridimensional, ambas representaciones son posibles y, por lo tanto, generalmente, si la pregunta se reduce al caso de solo esta dimensión, la representación (y notación) de la rotación alrededor de un eje se elige intuitivamente como algo más simple. $z$ $xy$
↑ Para todas las n filas (columnas).