Matriz de resistencia

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Matriz de resistencia : una matriz utilizada para describir dispositivos de microondas , que conecta las amplitudes complejas de voltajes y corrientes en los planos terminales de un multipolo equivalente con una dependencia lineal :

Z={\begin{pmatrix}z_{11},&z_{12},&\cdots &z_{1N}\\z_{21},&z_{22},&\cdots &z_{2N}\\\ vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\z_{N1},&z_{N2},&\cdots &z_{NN}\\\end{pmatrix}}

Dispositivo de microondas como multipolo

La descripción de un dispositivo de microondas se puede realizar sin tener en cuenta su estructura interna y geometría. Para los cálculos de ingeniería, cualquier dispositivo pasivo lineal se puede representar como una "caja negra", un multipolo , cada par de terminales representa un cierto tipo de onda en todas las líneas de transmisión conectadas a este dispositivo. En cada entrada del multipolo equivalente, se pueden determinar las amplitudes complejas de voltaje y corriente. Muy a menudo, la corriente y el voltaje se determinan a través de los componentes transversales de los campos eléctrico y magnético de una onda que se propaga en una línea:

{\ estilo de visualización \; E_ {n} = u_ {n} e_ {n}}

{\ estilo de visualización \; H_ {n} = i_ {n} h_ {n}}

Aquí y son las funciones propias de las componentes transversales de las ondas principales en la línea de entrada n . Los voltajes y las corrientes se incluyen en la forma normalizada: ${\ estilo de visualización \; e_ {n}}$ ${\ estilo de visualización \; h_ {n}}$ ${\ estilo de visualización \; u_ {n}}$ ${\ estilo de visualización \; i_ {n}}$

{\displaystyle u_{n}=U_{n}/{\sqrt {W_{n))))

[W ½ ]

{\displaystyle i_{n}=I_{n}{\sqrt {W_{n))))

[W ½ ]

${\ estilo de visualización \; W_ {n}}$ es la impedancia característica de la onda principal en la línea. El voltaje y la corriente en la línea se pueden expresar en términos de las ondas incidente y reflejada:

{\ estilo de visualización \; u_ {n} = a_ {n} + b_ {n})

{\ estilo de visualización \; i_ {n} = a_ {n}-b_ {n}}

Las ondas incidente y reflejada también se incluyen en forma normalizada y se miden en W ½ .

\;a_{n}={\sqrt {P_{n\;in}}}e^{i\varphi _{n\;in}}

\;b_{n}={\sqrt {P_{n\;fuera}}}e^{i\varphi _{n\;fuera}}

Ecuación matricial

Representando los conjuntos de corrientes y voltajes en todas las entradas del multipolo en forma de vectores, podemos escribir la ecuación matricial para la relación entre voltajes y corrientes:

u={\begin{pmatrix}u_{1}\\u_{2}\\\vdots \\u_{n}\end{pmatrix));\;i={\begin{pmatrix}i_{ 1}\\i_{2}\\\vpuntos \\i_{n}\end{pmatriz}}

{\ estilo de visualización \; u = Zi}

En forma algebraica, la notación tomará la forma

{\begin{casos}u_{1}=z_{11}i_{1}+z_{12}i_{2}+\ldots +z_{1N}i_{N}\\u_{2}= z_{21}i_{1}+z_{22}i_{2}+\ldots +z_{2N}i_{N}\\\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \ cdots \cdots \\u_{N}=z_{N1}i_{1}+z_{N2}i_{2}+\ldots +z_{NN}i_{N}\end{casos}}

Significado físico

Para averiguar el significado físico de los elementos de la matriz de resistencia, es necesario organizar un modo de prueba especial para medir corrientes y voltajes de un multipolo, llamado modo inactivo (X.X.).

El significado de los elementos diagonales ( z nn ) de la matriz de resistencia quedará claro si crea una corriente eléctrica i n ≠ 0 (conecta la fuente de corriente a la n -ésima entrada del multipolo) y crea el X.X. en todas las demás entradas (es decir, abra todas las demás k = 1 ... N , k ≠ n entradas del multipolo). En este caso, la intensidad de la corriente i k en las entradas k -x (abiertas) será igual a cero, y la tensión y la intensidad de la corriente para la n -ésima entrada estarán relacionadas por la ley de Ohm : u n = z nn i n . Se puede ver a partir de la expresión que cada n -ésimo elemento diagonal de la matriz de dispersión tiene el mismo significado que la resistencia eléctrica de la n - ésima entrada bajo la condición de X.X. en todas las demás entradas.

En el modo de prueba considerado, los voltajes en todas las entradas ( n -ésima y k - x) no serán iguales a cero, serán proporcionales a la fuerza de la corriente i n creada por la fuente conectada a la entrada n - ésima : tu k = z kn yo norte , k = 1 , ... , norte , ... , norte . Se puede ver a partir de esta expresión que todos los elementos de la matriz de dispersión sirven como coeficientes de proporcionalidad entre la intensidad de la corriente i n en la n - ésima entrada y el voltaje uk en la k -ésima entrada y tienen la dimensión de resistencia eléctrica ( Ohm ). Los elementos diagonales se denominan resistencias intrínsecas de las entradas, los elementos fuera de la diagonal se denominan resistencias insertadas (introducidas en la entrada k - ésima desde la entrada n - ésima, el primer índice es "dónde", el segundo - "desde dónde"). Estos nombres enfatizan el hecho de que, en el caso general, cuando la corriente fluye a través de todas las N entradas de un volumen múltiple, el voltaje u n en cada n-ésima entrada depende no solo de la intensidad de la corriente i n en esta entrada ( u n es proporcional a i n , el coeficiente de proporcionalidad es la propia resistencia z nn ), pero también en la intensidad de la corriente i k en todas las demás entradas ( u n también es proporcional a i k , el factor de proporcionalidad es la resistencia introducida z nk ). Es decir, el voltaje en cada entrada no solo depende de su “propia” fuente de corriente, sino que también es “introducido” (inducido, recibe un aditivo, depende, cambia) debido al flujo de corriente en todas las demás entradas debido a la presencia de interconexiones eléctricas en el circuito eléctrico interno del multipolo.

Así, en general, la matriz de resistencia y la ecuación matricial que relaciona voltajes y corrientes en las entradas de un multipolo son una generalización de la ley de Ohm para una sección de circuito (es decir, para una red de dos terminales) al caso de una red multipolar. .

Véase también

Matriz de dispersión
Matriz de conductividad
Matriz de transferencia clásica
Matriz de onda de transferencia

Literatura

Sazonov D. M. Antenas y dispositivos de microondas. proc. para las especialidades radiotécnicas de las universidades . - M. : Superior. escuela, 1988. - Pág. 432. - ISBN 5-06-001149-6 .