Amplitud compleja

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La amplitud compleja (fasor) es un valor complejo , cuyo módulo y argumento son iguales, respectivamente , a la amplitud y fase inicial de la señal armónica .

Definición

Sea una señal armónica:

$a(t)=A\cos \left(\omega t+\phi \right)$

Es algebraicamente inconveniente realizar tales operaciones aritméticas en señales escritas en tal forma, como sumar dos señales, restar otra señal de una señal. Para facilitar estas operaciones, las señales armónicas se representan como un número complejo, cuyo módulo es igual a la amplitud de la señal, y el argumento es la fase de la señal. En este caso, la señal original a(t) es igual a la parte real del número complejo dado b(t):

$a(t) = \Re(b(t))$ ,

dónde $b(t) = A e^{i( \omega t + \phi )} = A e^{i\phi} e^{i \omega t} = \hat A e^{i \omega t}$

aquí la amplitud compleja de la señal armónica es la siguiente expresión:

${\sombrero A}=Ae^{{i\phi ))$

Significado físico

Forma algebraica

Si consideramos la amplitud compleja como un número complejo en forma algebraica , entonces la parte real corresponde a la amplitud del componente coseno (en fase), y la parte imaginaria corresponde a la amplitud del componente seno (cuadratura) del original señal. Entonces, para la señal (1) tenemos: $a(t)=\Re ({\sombrero A})\cos(\omega t)-\Im ({\sombrero A})\sin(\omega t)$

dónde $\Re ({\hat A})=A\cos(\phi ),\quad \Im ({\hat A})=A\sin(\phi )$

Forma trigonométrica

Si consideramos la amplitud compleja como un número complejo en forma trigonométrica , entonces el módulo corresponde a la amplitud de la señal armónica original y el argumento corresponde al cambio de fase de la señal armónica original con respecto a la señal . $\cos {(\omega t)}$

Operaciones sobre amplitud compleja

Las operaciones lineales se pueden aplicar a señales en el espacio de amplitudes complejas. En otras palabras, las siguientes operaciones sobre amplitudes complejas:

multiplicación de la amplitud compleja por una constante
adición de amplitudes complejas (correspondientes a la misma frecuencia)
resta de amplitudes complejas (correspondientes a la misma frecuencia)
integración de la amplitud compleja en el tiempo
diferenciación de amplitud compleja con respecto al tiempo

conducen al mismo resultado que si se hicieran en las señales armónicas correspondientes, y luego se les quita la amplitud compleja.

Restricciones

Aunque la expresión para la amplitud compleja no incluye la frecuencia ω de la señal armónica, debe recordarse que la amplitud compleja describe una señal armónica de una frecuencia específica . Por lo tanto, en el espacio de amplitudes complejas, son inaceptables operaciones que:

toman como operandos amplitudes complejas que describen señales armónicas de diferentes frecuencias.
cambiar la frecuencia de una señal armónica o generar nuevas frecuencias (todas las operaciones no lineales, como multiplicar dos señales).

Aplicación

La amplitud compleja es una forma completa y muy conveniente de describir las señales armónicas porque:

Caracteriza tanto la amplitud como la fase.
No contiene dependencia del tiempo.
Permite el uso de diagramas vectoriales para el análisis de circuitos AC

El uso de amplitudes e impedancias complejas permite reducir el problema del paso de una señal armónica a través de un circuito lineal (descrito por un sistema de ecuaciones diferenciales ) a un problema más simple equivalente a analizar un circuito de resistencias DC ( descrito por un sistema de ecuaciones algebraicas ).