Método de adams

El método de Adams es un método de múltiples pasos de diferencias finitas para la integración numérica de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden . A diferencia del método de Runge-Kutta , para calcular el siguiente valor de la solución deseada, utiliza no uno, sino varios valores que ya han sido calculados en puntos anteriores.

Nombrado en honor al astrónomo inglés John C. Adams , quien lo propuso en 1855 .

Definición

Sea dado el sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden

{\displaystyle y'=f(x,y),y(x_{0})=y_{0))

para lo cual es necesario encontrar una solución en una cuadrícula con un paso constante . Las fórmulas de cálculo del método de Adams para resolver este sistema son las siguientes: [1] ${\ estilo de visualización x_{n}-x_{0}=(n-1)h}$

a) extrapolación - método de Adams-Bashforth

y_{n+1}=y_{n}+h\sum_{\lambda =0}^{k}{u_{-\lambda }f(x_{n-\lambda },y_{n-\lambda } )}

b) interpolación o implícito - método de Adams- Multon

y_{n+1}=y_{n}+h\sum_{\lambda =-1}^{k-1}{v_{-\lambda }f(x_{n-\lambda },y_{n- \lambda})}

donde están algunas constantes calculadas. $u_{-\lambda},v_{-\lambda}$

Para la misma fórmula b) es más precisa [2] , pero requiere resolver un sistema de ecuaciones no lineal para encontrar el valor de . En la práctica, se encuentra una aproximación a partir de a), y luego se dan uno o más refinamientos de acuerdo con la fórmula $k$ $y_{n+1}$

y_{n+1}^{(i+1)}=y_{n}+h\sum _{\lambda =0}^{k-1}{v_{-\lambda }f(x_{n-\ lambda },y_{n-\lambda })}+hv_{1}f(x_{n+1},y_{n+1}^{(i)})

Propiedades

Los métodos de Adams de orden th requieren el cálculo previo de la solución en los puntos iniciales. Para calcular los valores iniciales, generalmente se usan métodos de un solo paso, por ejemplo, el método de Runge-Kutta de 4 etapas del cuarto orden de precisión. $k$ $k$

El error local de los métodos de Adams del orden th es . La estructura de error del método de Adams es tal que el error permanece limitado o crece muy lentamente en el caso de soluciones asintóticamente estables de la ecuación. Esto hace posible utilizar este método para encontrar soluciones periódicas estables, en particular, para calcular el movimiento de los cuerpos celestes. $k$ $O(h^{k})$

Métodos de Adams-Bashforth

Métodos explícitos de Adams-Bashforth [3]

y_{n+1}=y_{n}+hf(t_{n},y_{n})

, ( método de Euler )

{\begin{alineado}y_{n+2}&=y_{n+1}+h\left({\frac {3}{2}}f(t_{n+1},y_{n+1} )-{\frac {1}{2}}f(t_{n},y_{n})\right),\\y_{n+3}&=y_{n+2}+h\left({ \frac {23}{12}}f(t_{n+2},y_{n+2})-{\frac {4}{3}}f(t_{n+1},y_{n+1 })+{\frac {5}{12}}f(t_{n},y_{n})\derecha),\\y_{n+4}&=y_{n+3}+h\izquierda( {\frac {55}{24}}f(t_{n+3},y_{n+3})-{\frac {59}{24}}f(t_{n+2},y_{n+ 2 })+{\frac {37}{24}}f(t_{n+1},y_{n+1})-{\frac {3}{8}}f(t_{n},y_{ n })\derecha),\\y_{n+5}&=y_{n+4}+h\izquierda({\frac {1901}{720}}f(t_{n+4},y_{n + 4})-{\frac{1387}{360}}f(t_{n+3},y_{n+3})+{\frac{109}{30}}f(t_{n+2} , y_{n+2})-{\frac {637}{360}}f(t_{n+1},y_{n+1})+{\frac {251}{720}}f(t_{ n },y_{n})\derecha).\end{alineado}}

Métodos de Adams-Multon

Métodos implícitos de Adams-Multon [3]

y_{n}=y_{n-1}+hf(t_{n},y_{n})

, (método implícito de Euler)

{\begin{alineado}y_{n+1}&=y_{n}+{\frac {1}{2}}h\left(f(t_{n+1},y_{n+1})+ f(t_{n},y_{n})\right),\\y_{n+2}&=y_{n+1}+h\left({\frac {5}{12}}f(t_ {n+2},y_{n+2})+{\frac{2}{3}}f(t_{n+1},y_{n+1})-{\frac {1}{12} }f(t_{n},y_{n})\right),\\y_{n+3}&=y_{n+2}+h\left({\frac {3}{8}}f( t_{n+3},y_{n+3})+{\frac {19}{24}}f(t_{n+2},y_{n+2})-{\frac {5}{24 }}f(t_{n+1},y_{n+1})+{\frac {1}{24}}f(t_{n},y_{n})\derecha),\\y_{n +4}&=y_{n+3}+h\izquierda({\frac {251}{720}}f(t_{n+4},y_{n+4})+{\frac {646}{ 720}}f(t_{n+3},y_{n+3})-{\frac {264}{720}}f(t_{n+2},y_{n+2})+{\frac {106}{720}}f(t_{n+1},y_{n+1})-{\frac {19}{720}}f(t_{n},y_{n})\right). \end{alineado}}

Notas

↑ Diccionario enciclopédico matemático . - M. : "Búhos. enciclopedia” , 1988.- S. 43 .
↑ La interpolación es más precisa que la extrapolación.
↑ 12 Hairer , Ernst; Nørsett, Syvert Paul & Wanner, Gerhard (1993), Resolución de ecuaciones diferenciales ordinarias I: problemas no rígidos (2.ª ed.), Berlín: Springer Verlag, ISBN 978-3-540-56670-0 .

Bibliografía

Berezin I. S., Zhidkov N. P. Métodos computacionales, volumen 2, M., 1959.
Bakhvalov N. S. , Métodos numéricos, 2ª ed. M. 1975.

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