Método de Sturmer-Werlet

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El método de Sturmer-Werlet es un método numérico para resolver el problema de Cauchy para ecuaciones diferenciales . A menudo se utiliza para encontrar la trayectoria de un punto material que se mueve según la ley : para calcular las trayectorias de partículas en modelos de dinámica molecular y en juegos de computadora. El método de Werlet es más estable que el método de Euler más simple y, al mismo tiempo, tiene otras cualidades necesarias para la simulación en tiempo real de procesos físicos. ${\ddot {{\vec {x}}}}={\vec {a}}({\vec {x}}),t)$

Fue utilizado [1] por Isaac Newton en el primer libro de Principia para demostrar la segunda ley de Kepler .

Nombrado en honor al físico francés Lou Werle , quien usó el método para modelar la dinámica molecular, y al astrofísico noruego Carl Störmer .

El método (y sus equivalentes) se llama de manera diferente según el alcance [1] [2] :

método de Sturmer , método de Encke - en astronomía;
el método Werlet - en dinámica molecular;
el método de la rana ( ing. jumpfrog ) - en el campo de las ecuaciones diferenciales parciales .

Algoritmo Básico

El algoritmo de Verlet se usa para calcular la siguiente ubicación de un punto desde el actual y el pasado, sin usar la velocidad. La fórmula se obtiene de la siguiente manera. La expansión en serie de Taylor del vector de ubicación de puntos en puntos de tiempo y se escribe : ${\vec{x}}(t)$ ${\ estilo de visualización (t + \ Delta t)}$ ${\ estilo de visualización (t-\ Delta t)}$

{\vec {x}}(t+\Delta t)={\vec {x}}(t)+{\vec {v}}(t)\Delta t+{\frac {{\vec {a }}(t)\Delta t^{2}}{2}}+{\frac {{\vec {b}}(t)\Delta t^{3}}{6}}+O(\Delta t ^{4}),

{\vec {x}}(t-\Delta t)={\vec {x}}(t)-{\vec {v}}(t)\Delta t+{\frac {{\vec { a}}(t)\Delta t^{2}}{2}}-{\frac {{\vec {b}}(t)\Delta t^{3}}{6}}+O(\Delta t^{4}),

dónde

{\ vec {x}}

- coordenadas del punto,

\vec{v}

- velocidad,

{\ vec {a}}

- aceleración,

{\ vec {b}}

- jerk ( derivada de la aceleración con respecto al tiempo).

Sumando estas 2 ecuaciones y expresando , obtenemos ${\vec{x}}(t+\Delta t)$

{\vec {x}}(t+\Delta t)=2{\vec {x}}(t)-{\vec {x}}(t-\Delta t)+{\vec {a} }(t)\Delta t^{2}+O(\Delta t^{4}).

Así, se puede calcular el valor del radio vector de un punto sin conocer la velocidad.

Características

La característica principal del algoritmo es la capacidad de imponer varias restricciones al sistema de puntos. Por ejemplo, puede conectar algunos de ellos con varillas sólidas de una longitud determinada. En este caso, el algoritmo funciona de la siguiente manera:

Se calculan las nuevas posiciones de los cuerpos (ver la fórmula anterior).
Para cada conexión, se cumple la restricción correspondiente, es decir, la distancia entre los puntos se hace como debe ser.
El paso 2 se repite varias veces, por lo que se cumplen todas las condiciones (se permite el sistema de condiciones).

Este método, a pesar de la repetición repetida del paso 2, es muy efectivo.

Propiedades

El método es un método característico de integración numérica geométrica y tiene las siguientes propiedades [2] [3] :

pertenece a la clase de métodos lineales generales de un paso;
tiene el segundo orden de precisión;
es un integrador simétrico (auto-adjunto);
es un integrador simpléctico ;
conserva el volumen de fase para varios sistemas;
conserva las primeras integrales lineales de los sistemas.

Puede ser considerado como:

el método de Nyström de segundo orden;
composición del método simpléctico de Euler con su adjunto;
método de división para sistemas de la forma ; ${\dot {\vec {q}}}=f({\vec {p}}),\ {\dot {\vec {p}}}=g({\vec {q}}))$
dividir el método de Runge-Kutta definidos tablas de Butcher ${\dot {\vec {q}}}=f({\vec {q}},{\vec {p}}),\ {\dot {\vec {p}}}=g({ \vec {q)),{\vec {p)))$ 0 0 0 una una / 2 una / 2 una / 2 una / 2 una / 2 una / 2 0 una / 2 una / 2 0 una / 2 una / 2 {\displaystyle {\begin{array}{c|cc}0&0&0\\1&1/2&1/2\\\hline &1/2&1/2\\\end{array}}\qquad {\begin{array}{c| cc}1/2&1/2&0\\1/2&1/2&0\\\hline &1/2&1/2\\\end{matriz}}} ${\begin{array}{c|cc}0&0&0\\1&1/2&1/2\\\hline &1/2&1/2\\\end{array}}\qquad {\begin{array}{c| cc}1/2&1/2&0\\1/2&1/2&0\\\hline &1/2&1/2\\\end{matriz}}$

Aplicación

El método ganó popularidad entre los desarrolladores de juegos de computadora en 2000 con el lanzamiento del juego Hitman: Codename 47 .

Notas

↑ 1 2 Ernst Hairer, Christian Lubich, Gerhard Wanner. Integración numérica geométrica ilustrada por el método de Störmer-Verlet // Acta Numerica. — 2003-5. — vol. 12 _ — págs. 399–450 . — ISSN 1474-0508 0962-4929, 1474-0508 .
↑ 1 2 Ernst Hairer, Christian Lubich, Gerhard Wanner. Integración Numérica Geométrica . - Berlín/Heidelberg: Springer-Verlag, 2006. - (Serie Springer en Matemática Computacional). — ISBN 9783540306634 .
↑ Sergio Blanes, Fernando Casas. Una introducción concisa a la integración numérica geométrica . — Chapman y Hall/CRC, 2016-06-06. — (Monografías y Notas de Investigación en Matemáticas). — ISBN 9781482263428 , 9781482263442. Archivado el 3 de junio de 2018 en Wayback Machine .

Enlaces

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