Métrica de Hausdorff

La métrica de Hausdorff es una métrica natural definida en el conjunto de todos los subconjuntos compactos no vacíos de un espacio métrico . Así, la métrica de Hausdorff convierte el conjunto de todos los subconjuntos compactos no vacíos de un espacio métrico en un espacio métrico.

Aparentemente, la primera mención de esta métrica está contenida en el libro de Hausdorff "La teoría de los conjuntos", la primera edición de 1914. Dos años más tarde, la misma métrica se describe en Circle and Ball de Blaschke , posiblemente de forma independiente, ya que no contiene una referencia al libro de Hausdorff.

Definición

Sean y dos subconjuntos compactos no vacíos de un espacio métrico . Entonces la distancia de Hausdorff, , entre y es el número mínimo tal que el vecindario cerrado contiene y también el vecindario cerrado contiene . $X$ $Y$ $METRO$ $d_{H}(X,\;Y)$ $X$ $Y$ $r$ $r$ $X$ $Y$ $r$ $Y$ $X$

Notas

En otras palabras, si denota la distancia entre puntos y luego $|xy|$ $X$ $y$ $METRO$ $d_{H}(X,\;Y)=\max \left\{\sup_{{x\in X}}\inf_{{y\in Y}}|xy|,\;\sup__ {y\en Y}}\inf _{{x\en X}}|xy|\right\}.$

Definición equivalente: $d_{H}(X,\;Y)=\sup _{m\in M}\left\{\,|\mathrm {dist} _{X}(m)-\mathrm {dist} _ {Y}(m)|\,\derecho\},$

donde denota la función de distancia al conjunto .

\mathrm {dist} _{X}\dos puntos M\to \mathbb {R}

X

Propiedades

Denotemos el conjunto de todos los subconjuntos compactos no vacíos de un espacio métrico con la métrica de Hausdorff: $F(M)$ $METRO$

La topología del espacio está completamente definida por la topología . $F(M)$ $METRO$
(Teorema de elección de Blashke) es compacto si y sólo si . $F(M)$ $METRO$
$F(M)$ completo si y solo si completo. $METRO$

Variaciones y generalizaciones

A veces la métrica de Hausdorff se considera sobre el conjunto de todos los subconjuntos cerrados de un espacio métrico, en cuyo caso la distancia entre algunos subconjuntos puede ser infinita.
A veces, la métrica de Hausdorff se considera en el conjunto de todos los subconjuntos de un espacio métrico. En este caso, es solo una pseudo- métrica y no es una métrica, ya que la "distancia" entre diferentes subconjuntos puede ser cero.
En geometría euclidiana , la métrica de Hausdorff se aplica a menudo hasta la congruencia . Sean y dos subconjuntos compactos del espacio euclidiano, entonces está determinado al menos por todos los movimientos del espacio euclidiano . Estrictamente hablando, esta métrica está en el espacio de clases de congruencia de subconjuntos compactos del espacio euclidiano. $X$ $Y$ $D_{H}(X,\;Y)$ ${\displaystyle d_{H}{\bigl (}I(X),\;Y{\bigr )))$ $yo$
La métrica de Gromov-Hausdorff es similar a la métrica de Hausdorff hasta la congruencia . Convierte el conjunto (de clases isométricas) de espacios métricos compactos en un espacio métrico.

Notas

Literatura

Blaschke . Círculo y bola . - M. : Nauka, 1967.
Skvortsov V. A. Ejemplos de espacios métricos // Biblioteca de Educación Matemática Archivado el 12 de enero de 2014 en Wayback Machine . - 2001. - Número 9.
Hausdorff "teoría de conjuntos"