Modelo Plummer

El modelo de Plummer , también la esfera de Plummer ( ing. modelo de Plummer , ing. esfera de Plummer ) es la ley de distribución de densidad, aplicada por primera vez por G. Plummer en el estudio de cúmulos globulares [1] . A menudo se utiliza como un modelo simplificado en el marco del modelado en el problema de N-cuerpos .

Descripción del modelo

El perfil de densidad tridimensional en el modelo de Plummer tiene la forma

\rho _{P}(r)={\frac {3M_{0}}{4\pi a^{3}}}\left(1+{\frac {r^{2}}{a ^{2}}}\right)^{-{\frac {5}{2}}},

donde es la masa total del objeto simulado, a es el llamado radio de Plummer , un parámetro de escala que establece el tamaño característico del núcleo del sistema. El potencial correspondiente tiene la forma $M_{0}$

\Phi _{P}(r)=-{\frac {GM_{0}}{\sqrt {r^{2}+a^{2}}}},

donde G denota la constante gravitacional . La dispersión de velocidad es

\sigma _{P}^{2}(r)={\frac {GM_{0}}{6{\sqrt {r^{2}+a^{2))))}.

La función de distribución tiene la forma

f({\vec {x)),{\vec {v)))={\frac {24{\sqrt {2))}{7\pi ^{3))}{\frac {Na ^{2}}{G^{5}M_{0}^{5}}}(-E({\vec {x}},{\vec {v}}))^{7/2},

si , y en caso contrario. Muestra la energía por unidad de masa. ${\ estilo de visualización E <0}$ $f({\vec {x)),{\vec {v)))=0$ $E({\vec {x)),{\vec {v)))={\frac {1}{2}}v^{2}+\Phi_{P}(r)$

Propiedades

Masa dentro de una esfera de radio : $r$

M(<r)=4\pi \int _{0}^{r}r'^{2}\rho _{P}(r')\,dr'=M_{0}{\frac {r^{3}}{(r^{2}+a^{2})^{3/2}}}.

Muchas propiedades del modelo de Plummer se describen en un artículo de Herwig Deyonge [2] .

El radio del núcleo , en el que la densidad cae a la mitad del valor en el centro, es . $r_{c}$ $r_{c}=a{\sqrt {{\sqrt {2}}-1}}\aprox. 0,64a$

El radio que contiene la mitad de la masa. $r_{h}=\left({\frac {1}{0.5^{2/3}}}-1\right)^{-0.5}a\approx 1.3a.$

El radio virial es . $r_{V}={\frac {16}{3\pi }}a\aprox. 1,7a$

La densidad superficial bidimensional es

$\Sigma (R)=\int _{-\infty }^{\infty }\rho (r(z))dz=2\int _{0}^{\infty }{\frac {3a^ {2}M_{0}dz}{4\pi (a^{2}+z^{2}+R^{2})^{5/2}}}={\frac {M_{0}a ^{2}}{\pi (a^{2}+R^{2})^{2}}}$ ,

de ahí el perfil de distribución de masa bidimensional:

$M(R)=2\pi \int _{0}^{R}\Sigma (R')\,R'dR'=M_{0}{\frac {R^{2}}{a ^{2}+R^{2}}}$ .

En astronomía, también puede ser necesario determinar el radio dentro del cual está contenida la mitad de la masa en una distribución bidimensional . $M(R_{1/2})=M_{0}/2$

Para el modelo Plummer . $R_{1/2}=a$

Los puntos de inflexión de la órbita de la partícula a lo largo del radio se caracterizan por una energía específica y un momento angular específico , los valores correspondientes de las distancias se pueden encontrar como las raíces de la ecuación cúbica $E={\frac {1}{2}}v^{2}+\Phi (r)$ $L=|{\vec {r}}\times {\vec {v}}|$

R^{3}+{\frac {GM_{0}}{E}}R^{2}-\left({\frac {L^{2}}{2E}}+a^{2 }\right)R-{\frac {GM_{0}a^{2}}{E}}=0,

donde , por lo tanto . Esta ecuación tiene tres raíces reales : dos positivas y una negativa, en , donde es el momento angular específico para una órbita circular con la misma energía. se puede calcular a partir de una sola raíz real del discriminante de una ecuación cúbica, que en sí misma es una ecuación cúbica ${\displaystyle R={\sqrt {r^{2}+a^{2))))$ ${\displaystyle r={\sqrt {R^{2}-a^{2))))$ $R$ $L<L_{c}(E)$ ${\ Displaystyle L_ {c} (E)}$ $L_c$

{\subrayado {E}}\,{\subrayado {L}}_{c}^{3}+\left(6{\subrayado {E}}^{2}{\subrayado {a}} ^{2}+{\frac {1}{2}}\right){\subrayado {L}}_{c}^{2}+\left(12{\subrayado {E}}^{3}{ \subrayado {a}}^{4}+20{\subrayado {E}}{\subrayado {a}}^{2}\right){\subrayado {L}}_{c}+\left(8{ \subrayado {E}}^{4}{\subrayado {a}}^{6}-16{\subrayado {E}}^{2}{\subrayado {a}}^{4}+8{\subrayado {a}}^{2}\derecho)=0,

donde los parámetros subrayados son adimensionales en unidades Henon, definidos como , y . ${\subrayado {E}}=Er_{V}/(GM_{0})$ ${\displaystyle {\subrayado {L}}_{c}=L_{c}/{\sqrt {GMr_{V))))$ ${\subrayado {a}}=a/r_{V}=3\pi /16$

Aplicaciones

El modelo de Plummer permite representar los perfiles de densidad observados de los cúmulos estelares, aunque la rápida disminución de la densidad a grandes distancias ( ) no es adecuada para estos fines. ${\ estilo de visualización \ rho \ flecha derecha r ^ {-5}}$

El comportamiento de la densidad cerca del centro del sistema no se corresponde con las características observadas de las galaxias elípticas, en las que la densidad aumenta más hacia el centro.

La facilidad con la que se puede aplicar el modelo de Plummer al método Monte Carlo ha hecho que el modelo de Plummer sea muy popular en el modelado de N-cuerpos, a pesar de la falta de realismo del modelo [3] .

Notas

↑ Plummer, H.C. (1911), On the problem of distribution in globular star clusters Archivado el 26 de junio de 2019 en Wayback Machine , lun . No. R. Astron. soc. 71 , 460.
↑ Dejonghe, H. (1987), Una familia completamente analítica de modelos Plummer anisotrópicos . Archivado el 26 de junio de 2019 en Wayback Machine . Lun. No. R. Astron. soc. 224 , 13.
↑ Aarseth, SJ, Henon, M. y Wielen, R. (1974), Una comparación de métodos numéricos para el estudio de la dinámica de cúmulos estelares. Archivado el 19 de abril de 2020 en Wayback Machine Astronomy and Astrophysics 37,183 .