Monomorfismo

Un monomorfismo es un morfismo de la categoría tal que toda igualdad implica que (en otras palabras, on puede cancelarse desde la izquierda). A menudo, un monomorfismo de a se denota por . $m:A\a B$ ${\ matemática C}$ $m\circ f=m\circ h$ $f=h$ $metro$ $X$ $Y$ $X\gancho flecha derecha Y$

Dual al concepto de monomorfismo es el concepto de epimorfismo . (A su vez, para que un morfismo sea un isomorfismo , en el caso general, no basta con que sea bimórfico —simultáneamente monomórfico y epimórfico.)

Los monomorfismos son una generalización categórica de la noción de función inyectiva . A veces estas definiciones coinciden, pero en general un monomorfismo no corresponde a una función inyectiva.

Relación con la reversibilidad

Los morfismos que tienen inversa izquierda son siempre monomorfismos. De hecho, si es la izquierda inversa a (es decir ), entonces: $yo$ $F$ $l\circ f=\nombre del operador {id}_{{X}}$

{\displaystyle f\circ g_{1}=f\circ g_{2}\Rightarrow lfg_{1}=lfg_{2}\Rightarrow g_{1}=g_{2))

Al mismo tiempo, no todos los monomorfismos tienen inversa izquierda. Por ejemplo, en la categoría de grupos , si es un subgrupo de , entonces la incrustación siempre es un monomorfismo, pero existe un morfismo inverso por la izquierda solo si y tiene un grupo complementario normal (ya que el núcleo del homomorfismo es un subgrupo normal). Un morfismo es un monomorfismo si y solo si el mapeo inducido definido como morfismos es inyectivo para todo Z . ${\mathbf {Grp))$ $H$ $GRAMO$ ${\ estilo de visualización f: H \ a G}$ ${\ estilo de visualización f: H \ a G}$ $H$ $f:X\a Y$ $f_{{*}}:{\mathrm {Hom}}(Z,X)\to {\mathrm {Hom}}(Z,Y)$ $f_{{*}}h=f\circ h$ $h:Z\a X$

Conexión con la inyectividad

No en todas las categorías se puede decir que alguna función sobre conjuntos corresponde a un morfismo, pero esto es cierto en categorías específicas . En cualquiera de estas categorías, un morfismo "inyectivo" será un monomorfismo. En la categoría de conjuntos , la afirmación inversa también es cierta; los monomorfismos allí corresponden exactamente a funciones inyectivas. Esto es cierto en muchas otras categorías que surgen naturalmente en las matemáticas debido a la existencia de un objeto libre generado por un solo elemento. Por ejemplo, esto es cierto en cualquier categoría abeliana .

Sin embargo, esto no siempre es cierto. Por ejemplo, en la categoría de grupos divisibles (abelianos) con los homomorfismos de grupo habituales, existen monomorfismos no inyectivos, como el mapa de factorización . $\mathbf {div}$ $q:\mathbb {Q} \to \mathbb {Q} /Z$

Tipos de monomorfismos

Se dice que un monomorfismo es regular si es un ecualizador de algún par de morfismos paralelos.

Un monomorfismo extremal es un monomorfismo que no se puede llevar a través de un epimorfismo de una manera no trivial, en otras palabras, si un monomorfismo extremal se representa en la formacon un epimorfismo, entonces es un isomorfismo. $g\circ e$ $mi$ $mi$

Terminología

El par de términos "monomorfismo" y "epimorfismo" fueron utilizados por primera vez por Bourbaki , y usaron "monomorfismo" como abreviatura de la frase "función inyectiva". Hoy en día, casi todos los matemáticos involucrados en la teoría de categorías están seguros de que la regla de reducción dada anteriormente es una generalización correcta del concepto de función inyectiva. McLane trató de distinguir entre monomorfismos, morfismos en una categoría particular, que corresponden a una función inyectiva, y el inglés. Los mapas mónicos son monomorfismos en el sentido categórico, pero esto nunca se ha generalizado.

Literatura

McLane S. Categorías para el matemático que trabaja / Per. De inglés. edición V. A. Artamonova. - M. : Fizmatlit, 2004. - 352 p. — ISBN 5-9221-0400-4 .

George Bergman (1998), Una invitación al álgebra general y las construcciones universales , Henry Helson Publisher, Berkeley. ISBN 0-9655211-4-1 .