Semiconductor no degenerado

Un semiconductor no degenerado es un semiconductor en el que el nivel de Fermi se encuentra en la banda prohibida a una distancia de energía mayor que sus límites ( es la constante de Boltzmann, es la temperatura absoluta), como resultado de lo cual los portadores de carga en este semiconductor obedecer las estadísticas de Maxwell-Boltzmann. Si el nivel de Fermi se encuentra dentro de las bandas permitidas (dentro de la banda de conducción en el caso de un semiconductor tipo n o de la banda de valencia en el caso de un tipo p ), dicho semiconductor se denomina degenerado . $kT$ $k$ $T$

Distribución de transportistas en zonas

Debido a que los electrones tienen espín semientero, obedecen a las estadísticas de Fermi-Dirac

f(E)={\frac {1}{1+\exp {\frac {EF}{kT))))

${\ estilo de visualización f (E)}$ es la probabilidad de que un estado cuántico con energía se llene con un electrón; es el potencial electroquímico, o nivel de Fermi , que generalmente depende de la temperatura. El nivel de Fermi también se puede definir como la energía de un estado cuántico, cuya probabilidad de llenado en determinadas condiciones es igual a 1/2. $mi$ $F$

For tiene la forma de una función discontinua: $T=0\quad$ ${\ estilo de visualización f (E)}$

para , lo que significa que todos los estados cuánticos con tales energías están llenos de electrones; ${\ estilo de visualización E <F \ quad}$ ${\ estilo de visualización f (E) = 1}$

para , por lo que los estados cuánticos correspondientes son libres. ${\ Displaystyle E> F \ quad}$ ${\ estilo de visualización f (E) = 0}$

En , la función de Fermi se representa como una curva continua y en un estrecho rango de energía del orden de varios en la vecindad del punto , cambia rápidamente de 1 a 0. El difuminado de la función de Fermi es mayor cuanto mayor sea la la temperatura. $T>0\quad$ $kT$ ${\ estilo de visualización E = F}$

El cálculo de cantidades estadísticas se simplifica enormemente si se encuentra en la brecha de la banda de energía y se retira del borde de la banda de conducción por varios . Entonces se puede considerar en la distribución de Fermi-Dirac y entra en la distribución de Maxwell-Boltzmann de la estadística clásica . En este caso, el gas de electrones no se degenera. $F$ $E_{c}$ $kT$ ${\ estilo de visualización \ exp {\ frac {EF} {kT}} \ gg 1}$ $f(E)=C\exp {\frac {EF}{kT))$

De manera similar, en un semiconductor de tipo p, para la ausencia de degeneración de gas de agujero, es necesario que el nivel de Fermi también se encuentre dentro de la brecha de banda y se encuentre por encima de la energía en varios . $F$ $E_{v}$ $kT$

El caso contrario, cuando el nivel de Fermi se encuentra dentro de la banda de conducción o dentro de la banda de valencia, es el caso de un electrón degenerado o, respectivamente, de un gas hueco. En este caso es necesario utilizar la distribución de Fermi-Dirac.

Concentración de transportistas en las zonas

La concentración de electrones en la banda de conducción se describe mediante la expresión

n=\int \limits_{E_{c}}^{\infty}f(E)\rho_{c}(E)dE=N_{c}\Phi_{1/2}(\ xi)

$\xi ={\frac {F-E_{c}}{kT}}$ es el potencial químico de los electrones (más precisamente, su valor adimensional),

$\rho _{c}(E)={\frac {1}{V}}{\frac {dN}{dE}}$ - la densidad de estados electrónicos en la banda de conducción - el número de estados por unidad de intervalo de energía por unidad de volumen,

$N_{c}=2\left({\frac {m_{c}kT}{2\pi \hbar ^{2}}}\right)^{3/2}$ es la densidad efectiva de estados en la banda de conducción.

El valor de la integral depende únicamente del potencial químico y la temperatura. Esta integral se conoce como integral de Fermi-Dirac con índice 1/2: ${\ estilo de visualización \ Phi _ {1/2} (\ xi)}$

\Phi _{1/2}(\xi )={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {x^ {1/2}}{1+\exp {(x-\xi)}}}

El cálculo de la concentración de huecos en la banda de valencia se realiza de forma similar, la única diferencia con el caso anterior es que se utiliza la densidad de estados en la banda de valencia y no el número de ocupados, sino que se toma el número de estados desocupados. en cuenta : ${\ estilo de visualización \ rho _ {v} (E)}$ ${\ estilo de visualización f_ {p} = (1-f)}$

p=\int \limits_{-\infty}^{E_{v}}f_{p}(E)\rho_{v}(E)dE=N_{v}\Phi_{1/ 2}(\eta)

$N_{v}=2\left({\frac {m_{v}kT}{2\pi \hbar ^{2}}}\right)^{3/2}$ es la densidad efectiva de estados en la banda de valencia,

$\eta ={\frac {E_{v}-F}{kT))$ es el potencial químico de los agujeros, un parámetro adimensional que caracteriza la posición del nivel de Fermi en relación con el borde de la banda de valencia.

Para semiconductores no degenerados, solo es significativa la cola de la distribución de Fermi, que puede aproximarse mediante la distribución de Maxwell-Boltzmann. En este caso, la integral de Fermi-Dirac toma la forma y las concentraciones de portadores en las bandas están determinadas por las expresiones: $\Phi _{1/2}(\xi )=\exp {\xi }$

n=N_{c}\exp {\frac {-(E_{c}-F)}{kT))

p=N_{v}\exp {\frac {E_{v}-F}{kT))

El factor delante del exponente da la probabilidad de llenar un estado cuántico con energía (o con energía en el caso de los huecos ) con electrones. En consecuencia, para un semiconductor no degenerado, la concentración de electrones móviles resulta ser la misma que si, en lugar de una distribución continua de estados en la banda, hubiera estados con la misma energía en cada unidad de volumen . $E_{c}$ $E_{v}$ $Carolina del Norte}$ $E_{c}$

Argumentando de manera similar, al calcular la concentración de huecos, la banda de valencia puede ser reemplazada por un conjunto de estados con la misma energía , cuyo número en cada unidad de volumen es . $E_{v}$ $Nevada$

En los semiconductores no degenerados, la concentración de portadores mayoritarios es pequeña en comparación con las densidades efectivas de los estados . Lo contrario ocurre en los semiconductores degenerados. Por lo tanto, al comparar los valores medidos de las concentraciones de electrones y huecos con los valores de , se puede establecer inmediatamente si un semiconductor dado está degenerado o no. ${\ estilo de visualización N_ {v}, N_ {c}}$ ${\ estilo de visualización N_ {v}, N_ {c}}$

La relación depende principalmente de la posición del nivel de Fermi en relación con los bordes de la banda. De las expresiones para las concentraciones se puede ver que la concentración de portadores de carga móvil será mayor en la banda a la que se encuentra más cerca el nivel de Fermi. Por tanto, en los semiconductores de tipo n, el nivel de Fermi se sitúa en la mitad superior de la banda prohibida, y en los semiconductores de tipo p, en la mitad inferior. Sin embargo, el producto de las densidades de electrones y huecos para un semiconductor no degenerado no depende de la posición del nivel de Fermi y es igual a . ${\frac{n}{p))$ $notario público$ $np=N_{c}N_{v}\exp {\frac {-E_{g}}{kT}}$

Literatura

Bonch-Bruevich V. L. , Kalashnikov S. G. Física de semiconductores. — Moscú: Nauka, 1977.
Lebedev AI Física de dispositivos semiconductores . - Fizmatlit Moscú, 2008. - 488 p. - ISBN 978-5-9221-0995-6.