Energia fermi

La energía de Fermi (nivel) ( ) de un sistema de fermiones que no interactúan es el aumento en la energía del estado fundamental del sistema cuando se agrega una partícula. La energía de Fermi es equivalente al potencial químico del sistema en su estado fundamental a temperatura cero absoluta . La energía de Fermi también se puede interpretar como la energía máxima de fermiones en el estado fundamental a temperatura cero absoluta . La energía de Fermi es uno de los conceptos centrales de la física del estado sólido. $E_F$

Para partículas no relativistas que no interactúan con giro 1/2 en el espacio tridimensional

E_{\text{F}}={\frac {\hbar ^{2}}{2m_{0}}}\left({\frac {3\pi ^{2}N}{V}} \derecha)^{2/3},

El nombre se le da en honor al físico italiano Enrico Fermi . Aquí está la constante de Planck reducida , es la masa de fermiones , es la concentración de partículas . $\hbar$ $m_{0}$ ${\ estilo de visualización N/V}$

Los fermiones, partículas con un espín semientero , generalmente 1/2, como los electrones , obedecen al principio de exclusión de Pauli , según el cual dos partículas idénticas, que forman un sistema mecánico cuántico (por ejemplo, un átomo), no pueden tomar el mismo cuanto. estado. Por tanto, los fermiones obedecen a la estadística de Fermi-Dirac . El estado fundamental de los fermiones que no interactúan se construye a partir de un sistema vacío y agregando gradualmente partículas una a la vez, llenando sucesivamente los estados en el orden de aumentar su energía (por ejemplo, llenando los orbitales electrónicos de un átomo con electrones). Cuando se alcanza el número requerido de partículas, la energía de Fermi es igual a la energía del estado ocupado más alto (o el estado desocupado más bajo: en el caso de un sistema macroscópico, la diferencia no es importante). Por lo tanto, la energía de Fermi también se denomina nivel de Fermi . Las partículas con una energía igual a la energía de Fermi se mueven a una velocidad llamada velocidad de Fermi .

En un gas de electrones libres (una versión mecánica cuántica de un gas ideal de fermiones), los estados cuánticos se pueden etiquetar de acuerdo con su momento . Algo similar se puede hacer para los sistemas periódicos como los electrones que se mueven en la red atómica de un metal , utilizando el llamado cuasi -momentum ( Partícula en un potencial periódico ). En cualquier caso, los estados de energía de Fermi están ubicados en una superficie en el espacio de cantidad de movimiento conocida como superficie de Fermi . Para un gas de electrones libres, la superficie de Fermi es la superficie de una esfera; para los sistemas periódicos, generalmente tiene una forma distorsionada. El volumen contenido bajo la superficie de Fermi determina el número de electrones en el sistema, y su topología está directamente relacionada con las propiedades de transporte de los metales, como la conductividad eléctrica . Las superficies de Fermi de la mayoría de los metales están bien estudiadas tanto experimental como teóricamente.

Nivel de Fermi a temperaturas distintas de cero

Para el importante caso de los electrones en un metal a todas las temperaturas razonables , podemos considerar , donde es el potencial químico a una temperatura dada, es la constante de Boltzmann . Esta situación se denomina gas de Fermi degenerado . (En el otro caso límite, se dice que el gas de Fermi no es degenerado, los números de ocupación del gas de Fermi no degenerado son pequeños y pueden describirse mediante las estadísticas clásicas de Boltzmann ). $T$ $kT\ll\mu$ $\mu$ $k$ $kT\gg\mu$

La energía de Fermi de un gas de Fermi libre está relacionada con el potencial químico mediante la ecuación

\mu =E_{F}\left[1-{\frac {\pi ^{2}}{12}}\left({\frac {kT}{E_{F}}}\right)^{2} +{\frac {\pi ^{4}}{80}}\left({\frac {kT}{E_{F}}}\right)^{4}+\ldots \right],

Por lo tanto, el potencial químico es aproximadamente igual a la energía de Fermi a temperaturas muy por debajo de la temperatura característica de Fermi . La temperatura característica es del orden de 10 4 K para un metal, por lo tanto, a temperatura ambiente (300 K ), la energía de Fermi y el potencial químico son de hecho equivalentes. Esto es importante porque el potencial químico no es la energía de Fermi que entra en la distribución de Fermi-Dirac [1] $E_{F}/k$

${{f}_{FD}}\left(E-\mu \right)={\frac {1}{\exp \left({\frac {E-\mu }{kT))\right )+1}}.$

A temperatura y energía de fermiones iguales a , la función de distribución de Fermi-Dirac tiende al valor . A bajas temperaturas, el límite de llenado de los estados de energía está manchado simétricamente por una cantidad del orden de . En este caso, la probabilidad de llenar estados electrónicos con la energía de Fermi . A altas temperaturas, la mancha se vuelve asimétrica y el valor del potencial químico se desplaza hacia la región de bajas energías [1] . $T\a 0$ $mi$ $E_F$ ${{f}_{FD}}\left(E_{F}-\mu (T)\right)\to {\frac {1}{2}}$ $kT\ll {{E}_{F}}$ $E=E_{F}$ $kT$ ${{f}_{FD}}\left(E_{F}-\mu \right)\aproximadamente 1/2$

Como nivel de Fermi en , se puede elegir un nivel llenado exactamente por la mitad (es decir, el nivel del estado , cuya probabilidad de llenado con una partícula es igual a 1/2). $kT\ll {{E}_{F}}$

Energía, temperatura y velocidad de Fermi

Elemento	Energía de Fermi, eV	Temperatura de Fermi, ×10 000 K	Velocidad de Fermi, ×1000 km/s
li	4.74	5.51	1.29
N / A	3.24	3.77	1.07
k	2.12	2.46	0.86
Rb	1.85	2.15	0.81
cs	1.59	1.84	0.75
cobre	7.00	8.16	1.57
Agricultura	5.49	6.38	1.39
Au	5.53	6.42	1.40
Ser	14.3	16.6	2.25
miligramos	7.08	8.23	1.58
California	4.69	5.44	1.28
señor	3.93	4.57	1.18
Licenciado en Letras	3.64	4.23	1.13
Nótese bien	5.32	6.18	1.37
Fe	11.1	13.0	1.98
Minnesota	10.9	12.7	1.96
zinc	9.47	11.0	1.83
CD	7.47	8.68	1.62
hg	7.13	8.29	1.58
Alabama	11.7	13.6	2.03
Georgia	10.4	12.1	1.92
En	8.63	10.0	1.74
Tl	8.15	9.46	1.69
sn	10.2	11.8	1,90
Pb	9.47	11.0	1.83
Bi	9.90	11.5	1.87
Sb	10.9	12.7	1.96
Ni	11.67		2.04
cr	6.92		1.56

Relación entre la energía de Fermi y la concentración de electrones de conducción

La concentración de electrones de conducción en semiconductores degenerados está relacionada con la distancia desde el borde de la banda de energía parcialmente llena hasta el nivel de Fermi. Este valor positivo a veces también se denomina energía de Fermi, por analogía con la energía de Fermi de un gas de electrones libres, que se sabe que es positivo.

En los metales, normalmente hay varias bandas de energía parcialmente llenas, por lo tanto, no es posible indicar la forma exacta de la dependencia de la concentración de portadores de carga libre de la posición del nivel de Fermi.

Véase también

Nivel cuasi-Fermi

Notas

↑ 1 2 N. Ashcroft, N. Mermin. FÍSICA DEL ESTADO SÓLIDO. Volumen 1. - Moscú: Mir, 1979. - 458 p.

Literatura

Gusev V. G., Gusev Yu. M. Electrónica. - M.: Escuela Superior, 1991. - S. 53. - ISBN 5-06-000681-6 .