Relación de preferencia continua

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La continuidad de la relación de preferencia significa que si un consumidor prefiere un conjunto a un conjunto , también preferirá conjuntos cercanos a conjuntos cercanos a . $y$ $X$ $y$ $X$

La continuidad de la relación de preferencia también proporciona otras propiedades de preferencia "deseables". En particular, para las preferencias neoclásicas continuas, existe una función de utilidad continua que las representa. Si existe una relación de preferencia continua que además es monótona , entonces las clases de indiferencia serán hipersuperficies (en el caso de dos bienes, se trata de curvas de indiferencia ).

Definiciones formales

La continuidad se puede definir de varias formas equivalentes.

Una relación de preferencia se llama continua si, para un conjunto arbitrario , los conjuntos y son cerrados . El primer conjunto contiene todas las colecciones que las dominan débilmente (es decir, no son peores que ), en el segundo conjunto todas las colecciones son tales que las dominan débilmente (es decir, no son mejores que ). $\exitoso$ $y\en X$ ${\big \{}x\in X:x\succeq y{\big \))$ ${\big \{}z\in X:y\succeq z{\big \))$ $y$ $y$ $y$ $y$

Se dice que una relación de preferencia es continua si para cualquier sucesión convergente de conjuntos y , tal que también se cumple y , donde x e y son los límites de estas sucesiones. $\exitoso$ $x_{n}$ $y_{n}$ ${\displaystyle x_{n}\succeq y_{n))$ $x\succeq y$

Para las preferencias neoclásicas, la continuidad de la preferencia no estricta puede definirse mediante una de las siguientes propiedades equivalentes de la preferencia estricta : ${\ estilo de visualización \ éxito}$

El conjunto de mejores conjuntos y el conjunto de peores conjuntos deben ser abiertos . ${\big \{}x\in X:x\succ y{\big \))$ $y$ ${\big \{}z\in X:y\succ z{\big \))$ $y$

Si , entonces hay barrios y , tales que para cualquier y $x\succ y$ $V_{x}$ ${\ Displaystyle V_ {y}}$ ${\ estilo de visualización a \ en V_ {x}}$ ${\ estilo de visualización b \ en V_ {y}}$ $a\succ b$

Dado que los conjuntos abiertos no contienen sus puntos límite, además del conjunto de mejores y peores que conjuntos, también debe haber un conjunto de conjuntos que sean indiferentes con respecto a los dos primeros conjuntos y los separen. Así, de la continuidad se sigue que pasando del peor conjunto elegido arbitrariamente al mejor , en el camino siempre tropezaremos con un conjunto que es indiferente con respecto a . $y$ $y$ $y$ $y$ $y$

Un ejemplo clásico de una relación de preferencia que no es continua es la relación de preferencia lexicográfica .

Véase también

Literatura

Mas-Colell, Andreu; Winston, Michael; & Green, Jerry Microeconomic Theory., Oxford: Oxford University Press, 1995. ISBN 0-19-507340-1 .
Varian, Hal R. Microeconomía intermedia, W. W. Norton & Company, 2005.