La desigualdad de Hadamard

La desigualdad de Hadamard (también el teorema de los determinantes de Hadamard [1] ), define el límite superior del volumen de un cuerpo en un espacio euclidiano bidimensional , dado por vectores . El nombre de Jacques Hadamard . $norte$ $norte$

Redacción

Sea , y una matriz cuyas columnas son vectores . Después $v_{i}\in \mathbb{R} ^{n},\;i=1,\;2,\;\ldots,\;n$ $METRO$ $v_{i}:i=1,\;2,\;\ldots,\;n$

|\det(M)|\leqslant \prod _{{i=1}}^{n}{||v_{i}||}_{2},

donde es la norma euclidiana del vector . ${||\cdot ||}_{2}$

En otras palabras, desde el punto de vista de la geometría, el volumen de un cuerpo bidimensional es máximo cuando los vectores que lo definen son mutuamente perpendiculares. $norte$

Lema

Probamos primero un pequeño lema:

Si la matriz de dimensiones es definida positiva , entonces $A$ $n\veces n$

|A|\leqslant a_{{11}}a_{{22}}\ldots a_{{nn}}.

Prueba del lema

El determinante se puede representar como $|A|$

|A|=a_{{11}}{\begin{vmatrix}a_{{22}}&\ldots &a_{{2n}}\\a_{{32}}&\ldots &a_{{3n}}\\ \ldots &\ldots &\ldots \\a_{{n2}}&\ldots &a_{{nn}}\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}0&a_{{12}}&\ldots &a_{{ 1n}}\\a_{{21}}&a_{{22}}&\ldots &a_{{2n}}\\\ldots &\ldots &\ldots &\ldots \\a_{{n1}}&a_{{ n2}}&\ldots &a_{{nn}}\end{vmatriz}}.

Dado que es definida positiva, entonces la matriz, que es el primer término de la suma, también es definida positiva, por lo tanto, la forma cuadrática en variables , que es el segundo término, no es definida positiva. Debido a esto $A$ $a_{{12}},\;a_{{13}},\;\ldots,\;a_{{1n}}$

|A|\leqslant a_{{11}}{\begin{vmatrix}a_{{22}}&\ldots &a_{{2n}}\\a_{{32}}&\ldots &a_{{3n}}\ \\ldots &\ldots &\ldots \\a_{{n2}}&\ldots &a_{{nn}}\end{vmatrix}}.

Por lo tanto, aplicando inducción, obtenemos el resultado requerido.

Prueba de la desigualdad de Hadamard

Para probar la desigualdad de Hadamard, es necesario aplicar el lema probado a una matriz cuadrada definida positiva de la forma . $A=MM^{T}$

Matrices cuyos determinantes alcanzan la frontera de Hadamard

En combinatoria , las matrices con elementos a partir de los cuales se cumple la igualdad en la desigualdad de Hadamard se denominan matrices de Hadamard . Por lo tanto, el módulo determinante de tales matrices es . A partir de tales matrices se obtienen los códigos de Hadamard . $\{+1,\;-1\}$ $n^{{{\frac{n}{2))))$

Véase también

Borde de trama

Notas

↑ Teorema de Hadamard // Enciclopedia Matemática / I. M. Vinogradov. — 1977.

Literatura

R. Bellman, Introducción al análisis matricial , SIAM, Filadelfia, PA, EE. UU., cap. 8, § 7, 1997.
FJ MacWilliams y NJA Sloane, The Theory of Error-Correcting Codes , Ámsterdam, Países Bajos, Holanda Septentrional, § 2.3, 1977.
EF Beckenbach y R. Bellman, Desigualdades , Berlín-Göttingen-Heidelberg, Alemania, cap. 2, § 11, 1961.