Desigualdad de Kolmogorov

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La desigualdad de Kolmogorov es una generalización de la versión probabilística de la desigualdad de Chebyshev , que limita la probabilidad de que la suma parcial de un conjunto finito de variables aleatorias independientes no supere un número fijo. Establecido por Andrei Kolmogorov a mediados de la década de 1920 y aplicado por él para demostrar la ley fuerte de los grandes números .

Formulación [1] : para variables aleatorias independientes definidas en un espacio de probabilidad común con expectativas y varianzas matemáticas y una variable arbitraria , se cumple lo siguiente: ${\ estilo de visualización (\ Omega, \ F, \ Pr)}$ $X_{1},\dots,X_{n}\ :\Omega \to R$ $MX_{i}=0,i\leqslant n$ $Var[X_{i}]<+\infty$ ${\ estilo de visualización \ lambda > 0}$

\Pr \left(\max _{1\leqslant k\leqslant n}|S_{k}|\geqslant \lambda \right)\leqslant {\frac {1}{\lambda ^{2))} \operatorname {Var} [S_{n}]\equiv {\frac {1}{\lambda ^{2))}\sum _{k=1}^{n}\operatorname {Var} [X_{i} ]

(una)

donde _ ${\displaystyle S_{k}=X_{1}+\puntos +X_{k))$

Si, además , $\Pr(|X_{i}|\leqslant c)=1,i\leqslant n$

\Pr \left(\max _{1\leqslant k\leqslant n}|S_{k}|\geqslant \lambda \right)\geqslant 1-{\frac {(\lambda +c)^{2 }}{\nombre del operador {Var} [S_{n}]}}

(2)

Prueba

Denotar

{\displaystyle A=\{\max _{1\leqslant k\leqslant n}|S_{k}|\geqslant \lambda \))

A_{k}=\{|S_{i}|<\lambda ,i=1,...,k-1,|S_{k}|\geqslant \lambda \},1\leqslant k\ leqslant n

Entonces y ${\displaystyle A=\sum A_{k))$

MS_{n}^{2}\geqslant MS_{n}^{2}I_{A}=\sum_{k=1}^{n}{MS_{n}^{2}I_{A_ {k}}}

(¿Dónde está el indicador? )

yo

Pero

MS_{n}^{2}I_{A_{k}}=M\left(S_{k}+\left(X_{k+1}+...+X_{n}\right)\ derecha)^{2}I_{A_{k}}=

=MS_{k}^{2}I_{A_{k))+2MS_{k}\left(X_{k+1}+...+X_{n}\right)I_{A_{k }}+M\left(X_{k+1}+...+X_{n}\right)^{2}I_{A_{k}}\geqslant MS_{k}^{2}I_{A_{ k}},

ya que , en virtud de la independencia asumida y de las condiciones Por lo tanto, $MS_{k}\left(X_{k+1}+...+X_{n}\right)I_{A_{k}}=MS_{k}I_{A_{k}}M\left (X_{k+1}+...+X_{n}\right)=0$ $MX_{i}=0,i\leqslant n$

\sum_{k=1}^{n}Var[X_{i}]=MS_{n}^{2}\geqslant \sum_{k=1}^{n}MS_{n}^ {2}I_{A_{k}}\geqslant \sum _{k=1}^{n}MS_{k}^{2}I_{A_{k}}\geqslant \lambda ^{2}\sum _ {k=1}^{n}MI_{A_{k}}=\lambda ^{2}\sum _{k=1}^{n}\Pr(A_{k})=\lambda ^{2} Pr(A)

lo que demuestra la desigualdad 1 .

Para probar la desigualdad 2 , tenga en cuenta que

MS_{n}^{2}I_{A}=MS_{n}^{2}-MS_{n}^{2}I_{\bar {A}}\geqslant MS_{n}^{2 }-\lambda ^{2}Pr({\bar {A)))=MS_{n}^{2}-\lambda ^{2}+\lambda ^{2}Pr(A)

(3)

Por otra parte, en el plató $Alaska$

|S_{k-1}|\leqslant \lambda ,|S_{k}|\leqslant |S_{k-1}|+|X_{k}|\leqslant \lambda +c

y por lo tanto,

MS_{n}^{2}I_{A}=\sum_{k}MS_{k}^{2}I_{A_{k})+\sum_{k}M(I_{A_{ k}}(S_{n}-S_{k})^{2})\leqslant (\lambda +c)^{2}\sum_{k}Pr(A_{k})+\sum_{k =1}^{n}Pr(A_{k})\sum _{j=k+1}^{n}MX_{j}^{2}\leqslant

\leqslant \Pr(A)\left[(\lambda +c)^{2}+\sum _{j=1}^{n}MX_{j}^{2}\right]=Pr( A)\izquierda[(\lambda +c)^{2}+MS_{n}^{2}\derecha]

(cuatro)

De (3) y (4) encontramos que:

Pr(A)\geqslant {\frac {MS_{n}^{2}+\lambda ^{2}}{(\lambda +c)^{2}+MS_{n}^{2}- \lambda ^{2))}=1-{\frac {(\lambda +c)^{2}}{(\lambda +c)^{2}+MS_{n}^{2}-\lambda ^ {2}}}\geqslant 1-{\frac {(\lambda +c)^{2}}{MS_{n}^{2}}}=1-{\frac {(\lambda +c)^{ 2}}{\nombre del operador {Var} [S_{n}]}}

Notas

↑ Henneken, 1974 , pág. treinta.

Literatura

Billingsley, Patrick. Probabilidad y Medida (neopr.) . Nueva York: John Wiley & Sons, Inc. , 1995. - ISBN 0-471-00710-2 . (Teorema 22.4)
Feller, Guillermo . Introduccióna la teoría de la probabilidad y sus aplicaciones, vol. 1 . - Tercera edicion. Nueva York: John Wiley & Sons, Inc. , 1968. - P. xviii + 509. — ISBN 0-471-25708-7 .
Henneken P. L., Tortra A. Teoría de la probabilidad y algunas de sus aplicaciones. — M .: Nauka, 1974. — 472 p.
Shiryaev A. N. Probabilidad. - 3ª ed., revisada. y adicional .. - M . : MTSNMO , 2004. (Capítulo 4 § 2 sección 1)