Desigualdad de Markov

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La desigualdad de Markov en la teoría de la probabilidad da una estimación de la probabilidad de que una variable aleatoria no negativa exceda en valor absoluto una constante positiva fija, en términos de su expectativa matemática . Aunque la estimación resultante suele ser aproximada, sí da una idea de la distribución cuando ésta no se conoce explícitamente.

Redacción

Deje que una variable aleatoria no negativa se defina en el espacio de probabilidad y su expectativa matemática sea finita. Después ${\displaystyle X\colon \Omega \to \mathbb {R} ^{+))$ $(\Omega,{\mathcal {F}},{\mathbb {P}})$ ${\ matemáticas {E}} X$

\mathbb {P} \left(X\geqslant a\right)\leqslant {\frac {\mathbb {E} X}{a))

donde _ $a>0$

Ejemplos

1. Sea una variable aleatoria no negativa. Luego, tomando , obtenemos $X\geqslant 0$ $a=2{\mathbb{E}}X$

{\mathbb {P}}(X\geqslant 2{\mathbb {E}}X)\leqslant {\frac {1}{2}}

2. Supongamos que los estudiantes lleguen 3 minutos tarde en promedio, y nos interesa cuál es la probabilidad de que un estudiante llegue 15 o más minutos tarde. Para obtener una estimación aproximada de arriba, puede usar la desigualdad de Markov:

\mathbb {P} (|X|\geqslant 15)\leqslant {\frac {3}{15}}=0{,}2

Prueba

Deje que una variable aleatoria no negativa tenga una densidad de distribución , entonces para $X$ $p(x)$ $a>0$

\mathbb {E} X=\int _{0}^{\infty}xp(x)dx\geqslant \int _{a}^{\infty}xp(x)dx\geqslant \int_{ a}^{\infty}ap(x)dx=a\mathbb {P} \left(X\geqslant a\right)

Relación con otras desigualdades

Si sustituimos una variable aleatoria en lugar de una variable aleatoria en la desigualdad , obtenemos la desigualdad de Chebyshev : $X$ $(Y-\mathbb {E} Y)^{2}$

\mathbb {P} (|Y-\mathbb {E} (Y)|\geq b)\leq {\frac ({\textrm {Var))(Y)}{b^{2))} .

Y viceversa, representando una variable aleatoria no negativa como el cuadrado de otra variable aleatoria , tal que de la desigualdad de Chebyshev para obtenemos la desigualdad de Markov para . La distribución de una variable aleatoria se define como sigue: , . $X$ ${\ estilo de visualización X = Y ^ {2}}$ ${\ estilo de visualización \ mathbb {E} Y = 0}$ $Y$ $X$ $Y$ $\mathbb {P} (Y<-{\sqrt {a)))=\mathbb {P} (Y>{\sqrt {a)))=\mathbb {P} (X>a)/2$ $\mathbb {P} (Y=0)=\mathbb {P} (X=0)$

Si una función no decreciente positiva arbitraria, entonces $\fi(x)$

\mathbb {P} \left(X\geqslant a\right)=\mathbb {P} \left(\phi (X)\geqslant \phi (a)\right)\leqslant {\frac {\mathbb {E} \izquierda[\phi (X)\derecha]}{\phi (a)))

En particular , para, para cualquier ${\ estilo de visualización \ phi (x) = e ^ {xt}}$ ${\ Displaystyle t \ geqslant 0}$

{\displaystyle \mathbb {P} \left(X\geqslant a\right)\leqslant {\frac {\mathbb {E} \left[e^{Xt}\right]}{e^{at))}= {\frac{M_{X}(t)}{e^{a))))

donde es la función generadora de los momentos . Minimizando el lado derecho con respecto a , obtenemos la desigualdad de Chernov . ${\ estilo de visualización M_ {X} (t)}$ $t$

La desigualdad de Chernov da una mejor estimación que la desigualdad de Chebyshev, y la desigualdad de Chebyshev da una mejor estimación que la desigualdad de Markov. Esto no es sorprendente, ya que la desigualdad de Markov asume el conocimiento de solo el primer momento de la variable aleatoria , el de Chebyshev, el primero y el segundo, el de Chernov, todos los momentos. $X$

Véase también

Enlaces

Video conferencia sobre variables aleatorias, desigualdades de Markov y Chebyshev