Desigualdad de Frobenius

En álgebra lineal , la desigualdad de Frobenius es la siguiente desigualdad para los rangos de matrices :

\mathrm {rango} \,AB+\mathrm {rango} \,BC\leqslant \mathrm {rango} \,ABC+\mathrm {rango} \,B.

En esta desigualdad, las dimensiones de las matrices , y deben permitir la existencia de una matriz (es decir, estas matrices tienen dimensiones , y , respectivamente). $A$ $B$ $C$ $A B C$ ${\ estilo de visualización i \ veces j}$ ${\ estilo de visualización j \ veces k}$ ${\ estilo de visualización k \ veces l}$

La desigualdad lleva el nombre del matemático F. G. Frobenius , quien la descubrió .

Primera prueba

Si y , entonces . ${\ estilo de visualización U \ subconjunto V}$ $X:V\flecha derecha W$ $\dim \mathrm {Ker} \,X_{U}\leqslant \dim \mathrm {Ker} \,X=\dim V-\dim \mathrm {Im} \,X$

Escribamos esta desigualdad para : $U=\mathrm {Im} \,BC,V=\mathrm {Im} \,B,X=A$

\dim \mathrm {Ker} \,A_{\mathrm {Im} \,B}=\dim \mathrm {Im} \,B-\dim \mathrm {Im} \,AB

También es claro que [1] . $\dim \mathrm {Ker} \,A_{\mathrm {Im} \,BC}=\dim \mathrm {Im} \,BC-\dim \mathrm {Im} \,ABC$

Segunda prueba

Considere la matriz de bloques

M={\begin{pmatrix}B&0\\0&ABC\end{pmatrix}}

Si aplicamos una cadena de transformaciones elementales a una matriz, ellas, como es sabido, no cambian el rango de la matriz. $METRO$

M={\begin{pmatrix}B&0\\0&ABC\end{pmatrix}}\sim {\begin{pmatrix}B&0\\AB&ABC\end{pmatrix}}\sim {\begin{pmatrix}B&-BC \\AB&0\end{pmatrix}}\sim {\begin{pmatrix}BC&B\\0&AB\end{pmatrix}}

Después $\mathrm {rango} \,B+\mathrm {rango} \,ABC=\mathrm {rango} \,M=\mathrm {rango} {\begin{pmatrix}BC&B\\0&AB\end{pmatrix}} \geqslant \mathrm {rango} {\begin{pmatrix}BC&0\\0&AB\end{pmatrix}}=\mathrm {rango} \,AB+\mathrm {rango} \,BC$

Notas

↑ Problemas y teoremas de álgebra lineal, 1996 , p. 73.

Literatura

Carl D Meyer. Análisis Matricial y Álgebra Lineal Aplicada
Prasolov VV Problemas y teoremas de álgebra lineal. — M .: Nauka, 1996. — 304 p. - ISBN 5-02-014727-3 .