Desigualdad de Hardy

La desigualdad de Hardy es una desigualdad matemática que lleva el nombre del autor, el matemático inglés G. H. Hardy . Publicado y probado por primera vez en 1920 en la nota de Hardy [1] sobre la simplificación de la prueba del teorema de la serie doble de Hilbert [2] [3] .

Redacción

Aquí hay una versión moderna de la desigualdad; difiere un poco del dado en la primera publicación de Hardy: en 1926, Edmund Landau especificó el coeficiente en el lado derecho [4] .

Sea una sucesión de números reales no negativos , no todos iguales a cero. Entonces para cualquier número real se cumple la siguiente desigualdad: $a_{1},a_{2},a_{3}\puntos$ $pag>1$

\sum _{n=1}^{\infty}\left({\frac {a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}}{n}}\right)^{ p}<\left({\frac {p}{p-1}}\right)^{p}\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}^{p}.

La constante de la derecha es óptima, es decir, en el caso de cualquier disminución en ella, la desigualdad puede no ser satisfecha [5] . $\left({\frac {p}{p-1}}\right)^{p}$

Versión integral

Si es una función integrable no negativa , entonces [6] : $f(x)$

\int _{0}^{\infty}\left({\frac {1}{x}}\int _{0}^{x}f(t)\,dt\right)^{p }\,dx\leqslant \left({\frac {p}{p-1}}\right)^{p}\int _{0}^{\infty }f(x)^{p}\,dx .

La igualdad de los lados izquierdo y derecho es posible si y solo si la función es igual a cero en casi todas partes [6] . $f(x)$

Notas

De la desigualdad de Hardy se puede deducir como consecuencia la desigualdad de Carleman .

La desigualdad integral de Hardy tiene numerosas generalizaciones [7] [8] .

Notas

↑ Hardy, GH Nota sobre un teorema de Hilbert // Mathematische Zeitschrift : diario. - 1920. - Vol. 6 , núm. 3-4 . - Pág. 314-317 . -doi : 10.1007/ BF01199965 .
↑ Desigualdad de Hilbert // Enciclopedia matemática (en 5 volúmenes). - M .: Enciclopedia soviética , 1977. - T. 1. - S. 967-968.
↑ Hardy, Littlewood, Poya 2006 , Teorema 315ff.
↑ Hardy, Littlewood, Poya 2006 , nota sobre el teorema 327.
↑ Hardy, Littlewood, Poya 2006 , Teorema 326ff.
↑ 1 2 Hardy, Littlewood, Poya 2006 , Teorema 327.
↑ Enciclopedia de Matemáticas, 1985 .
↑ Ruzhansky, Michael. Desigualdades de Hardy sobre grupos homogéneos: 100 años de desigualdades de Hardy . - ISBN 978-3-030-02894-7 , 3-030-02894-1.

Literatura

Nikolsky S. M. Aproximación de funciones de varias variables y teoremas de incrustación, 2ª ed., M.: Nauka, 1977, 456 pp.
Xapdy G. G. , Littlewood D. E. , Polia G. Desigualdades = Desigualdades. - M. : KomKniga, 2006. - 458 p. — ISBN 5-484-00363-6 .
Desigualdad de Hardy // Enciclopedia matemática (en 5 volúmenes) . - M .: Enciclopedia soviética , 1985. - T. 5. - S. 772-773.
Kufner, Alois; Persson, Lars-Erik. Desigualdades ponderadas de tipo Hardy (neopr.) . - Publicación científica mundial , 2003. - ISBN 981-238-195-3 .
Masmoudi, Nader (2011), About the Hardy Inequality, en Dierk Schleicher, Malte Lackmann, An Invitation to Mathematics , Springer Berlin Heidelberg, ISBN 978-3-642-19533-4 CS1 maint: Usa el parámetro de los editores (enlace) Masmoudi, Nader (2011), Acerca de la desigualdad de Hardy, en Dierk Schleicher, Malte Lackmann, An Invitation to Mathematics , Springer Berlin Heidelberg, ISBN 978-3-642-19533-4 .

Enlaces

Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), desigualdad de Hardy , Enciclopedia de Matemáticas , Springer , ISBN 978-1-55608-010-4