Desigualdad del cuadrilátero

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La desigualdad del cuadrilátero es una desigualdad que se cumple para cuatro puntos cualesquiera de un espacio métrico donde la desigualdad del triángulo es cierta . Su significado geométrico es que la diferencia de dos lados de un cuadrilátero no excede la suma de los otros dos lados [1] .

Redacción

Denotemos la distancia entre los puntos del espacio métrico y . Entonces, para cuatro puntos cualesquiera del espacio métrico, se cumple la siguiente desigualdad: . $\rho (x,y)$ $X$ $y$ ${\ estilo de visualización x, y, z, u}$ $\left|\rho (x,z)-\rho (y,u)\right|\leqslant \rho (x,y)+\rho (z,u)$

Prueba

Considere las desigualdades que siguen de la desigualdad del triángulo :

{\ estilo de visualización \ rho (x, z) \ leqslant \ rho (x, y) + \ rho (y, u) + \ rho (u, z)}

{\ estilo de visualización \ rho (y, u) \ leqslant \ rho (y, x) + \ rho (x, z) + \ rho (z, u)}

Resta de ambas partes de la primera desigualdad y de ambas partes de la segunda desigualdad . ${\ estilo de visualización \ rho (y, u)}$ ${\ estilo de visualización \ rho (x, z)}$

La desigualdad del segundo triángulo

Cuando , la desigualdad del cuadrilátero se convierte en la desigualdad del segundo triángulo: ${\ estilo de visualización z = u}$ ${\ estilo de visualización \ izquierda | \ rho (x, z) - \ rho (y, z) \ derecha | \ leqslant \ rho (x, y)}$

Desigualdades cuadrangulares en planimetría

Desigualdad del cuadrilátero : el módulo de la diferencia de dos lados cualesquiera de un cuadrilátero no excede la suma de los otros dos lados : . ${\ estilo de visualización \ izquierda | ab \ derecha | \ leq c + d}$
Equivalentemente: en cualquier cuadrángulo (incluido uno degenerado) la suma de las longitudes de sus tres lados no es menor que la longitud del cuarto lado, es decir: ; ; ; . $a\leq b+c+d$ ${\ estilo de visualización b \ leq + c + d}$ $c\leq a+b+d$ $d\leq a+b+c$

Notas

↑ Shilov G. E. Análisis matemático. Curso especial. — M.: Fizmatlit, 1961. — Pág. 29

Véase también

desigualdad triangular