Conjunto borroso

La versión actual de la página aún no ha sido revisada por colaboradores experimentados y puede diferir significativamente de la versión revisada el 10 de septiembre de 2022; la verificación requiere 1 edición .

Un conjunto borroso (a veces borroso [1] , brumoso [2] , esponjoso [3] ) es un concepto introducido por Lotfi Zadeh en 1965 en el artículo "Fuzzy Sets" en la revista Information and Control [4] , en el cual amplió el concepto clásico de conjunto , asumiendo que la función característica de un conjunto (llamada por Zade función de pertenencia para un conjunto borroso) puede tomar cualquier valor en el intervalo , y no solo los valores o . Es el concepto básico de la lógica difusa . $[0, 1]$ ${\ estilo de visualización 0}$ $una$

Nombre obsoleto: conjunto vago [5] [6] ,

Definición

Un conjunto borroso es un conjunto de pares ordenados formado por elementos de un conjunto universal y los correspondientes grados de pertenencia : $A$ $X$ $X$ $\mu _{A}(x)$

A=\{(x,\mu _{A}(x))\mid x\in X\}

además , es una función de pertenencia (una generalización del concepto de función característica de los conjuntos nítidos ordinarios), que indica hasta qué punto (medida) un elemento pertenece a un conjunto borroso . La función toma valores en algún conjunto ordenado linealmente . Un conjunto se denomina conjunto de accesorios , a menudo se elige un segmento como segmento . Si (es decir, consta de solo dos elementos), entonces el conjunto borroso se puede considerar como un conjunto nítido ordinario. $\mu _{A}(x)$ $X$ $A$ $\mu _{A}(x)\$ $METRO$ $METRO$ $METRO$ $[0, 1]$ $M=\{0,1\}\$

Definiciones básicas

Deja un conjunto borroso con elementos del conjunto universal y un conjunto de accesorios . Después: $A$ $X\$ $M=[0,1]$

el portador ( soporte ) de un conjunto borroso es el conjunto ; $\operatorname {suplemento} A$ $\{x\mid x\in X,\mu _{A}(x)>0\}$
el valor se denomina altura del conjunto borroso . Un conjunto borroso es normal si su altura es . Si la altura es estrictamente menor que , el conjunto borroso se denomina subnormal ; $\sup _{{x\en X}}\mu _{A}(x)$ $A\$ $A\$ $una\$ $una\$
el conjunto borroso está vacío si . Un conjunto difuso subnormal no vacío se puede normalizar mediante la fórmula $\para todo x\en X:\mu _{A}(x)=0$ $\mu '_{A}(x)={\frac {\mu _{A}(x)}{\sup \mu _{A}(x)))$ ;
el conjunto borroso es unimodal si solo está en uno de ; $\mu _{A}(x)=1\$ $X\$ $X\$
elementos a los que se denominan puntos de transición del conjunto borroso . $x\en X$ ${\ estilo de visualización \ mu _ {A} (x) = 0 {,} 5}$ $A\$

Comparación de conjuntos borrosos

Sean y sean conjuntos difusos definidos en el conjunto universal . $A$ $B$ $X$

$A$ está contenido en , si para cualquier elemento de la función de su pertenencia al conjunto tomará un valor menor o igual a la función de pertenencia del conjunto : $B$ $X$ $A$ $B$ $A\subset B\Leftrightarrow \forall x\in X:\mu _{A}(x)\leqslant \mu _{B}(x)$ .
Si la condición no se cumple para todos , entonces hablamos del grado de inclusión del conjunto borroso en , que se define de la siguiente manera: ${\ estilo de visualización \ mu _ {A} (x) \ leqslant \ mu _ {B} (x)}$ $x\en X$ $A$ $B$ $l\left(A\subconjunto B\right)=\min _{x\in T}\mu _{B}(x)$ , donde . ${\displaystyle T=\{x\in X;\mu_{A}(x)\leqslant \mu_{B}(x),\mu_{A}(x)>0\))$
Se dice que dos conjuntos son iguales si están contenidos el uno en el otro: $A=B\Leftrightarrow \forall x\in X:\mu _{A}(x)=\mu _{B}(x)$ .
Si los valores de las funciones de pertenencia y son casi iguales entre sí, se habla del grado de igualdad de los conjuntos borrosos y , por ejemplo, en la forma $\mu _{A}(x)$ ${\ estilo de visualización \ mu _ {B} (x)}$ $A$ $B$ $E(A=B)=1-\max_{x\in T}|\mu_{A}(x)-\mu_{B}(x)|$ , donde . ${\displaystyle T=\{x\in X;\mu _{A}(x)\neq \mu _{B}(x)\))$

Propiedades de los conjuntos borrosos

$\alfa$ -segmento de conjunto borroso , denotado como , es el siguiente conjunto claro : $A\subconjunto X$ $A_{\alfa}$

{\displaystyle A_{\alpha }=\{x\in X\mid \mu _{A}(x)\geqslant \alpha \))

es decir, el conjunto definido por la siguiente función característica (función de pertenencia):

\chi _{A_{\alpha }}(x)=\left\{{\begin{matriz}0,&\mu _{A}(x)<\alpha ,\\1,&\mu _ {A}(x)\geqslant \alpha .\end{matriz}}\right.

Para una rebanada de un conjunto borroso, la siguiente implicación es verdadera: $\alfa$

\alpha _{1}<\alpha _{2}\Rightarrow A_{\alpha _{1}}\supset A_{\alpha _{2}}

Un conjunto borroso es convexo si y solo si se cumple la siguiente condición: $A\subseteq \mathbf {R}$

\mu_{A}[\gamma x_{1}+(1-\gamma )x_{2}]\geqslant \langle \mu_{A}(x_{1})\land \mu_{ A}(x_{2})=\min\{\mu _{A}(x_{1}),\mu _{A}(x_{2})\}\rangle

para cualquier y . $x_{1},x_{2}\en \mathbf {R}$ ${\ estilo de visualización \ gamma \ en [0,1]}$

Un conjunto borroso es cóncavo si y solo si se cumple la siguiente condición: $A\subseteq \mathbf {R}$

\mu_{A}[\gamma x_{1}+(1-\gamma )x_{2}]\leqslant \langle \mu_{A}(x_{1})\lor \mu_{ A}(x_{2})=\max\{\mu _{A}(x_{1}),\mu _{A}(x_{2})\}\rangle

para cualquier y . $x_{1},x_{2}\en \mathbf {R}$ ${\ estilo de visualización \ gamma \ en [0,1]}$

Operaciones sobre conjuntos borrosos

Con muchos accesorios $M=[0,1]\$

La intersección de conjuntos borrosos es un subconjunto borroso con una función de pertenencia que es el mínimo de funciones de pertenencia y : $A$ $B$ $A$ $B$ ${\ estilo de visualización \ mu _ {A \ cap B} (x) = \ min (\ mu _ {A} (x), \ mu _ {B} (x))}$ .
El producto de conjuntos borrosos es un subconjunto borroso con una función de pertenencia: $A$ $B$ ${\ estilo de visualización \ mu _ {AB} (x) = \ mu _ {A} (x) \ mu _ {B} (x)}$ .
La unión de conjuntos borrosos es un subconjunto borroso con una función de pertenencia que es el máximo de las funciones de pertenencia y : $A$ $B$ $A$ $B$ $\mu _{A\cup B}(x)=\max(\mu _{A}(x),\mu _{B}(x))$ .
La suma de conjuntos borrosos es un subconjunto borroso con una función de pertenencia: $A$ $B$ ${\ estilo de visualización \ mu _ {A + B} (x) = \ mu _ {A} (x) + \ mu _ {B} (x) \ - \ mu _ {A} (x) \ mu _ {B} }(X)}$ .
La negación de un conjunto es un conjunto con una función de pertenencia: $A\$ $\overline A$ $\mu_{\overline {A}}(x)=1-\mu_{A}(x)$ para todos $x\en X$

Una representación alternativa de operaciones sobre conjuntos borrosos

Cruce

En general, la operación de intersección de conjuntos borrosos se define como sigue:

{\ estilo de visualización \ mu _ {A \ cap B} (x) = T (\ mu _ {A} (x), \ mu _ {B} (x))}

donde la función es la llamada T-norma . A continuación se muestran ejemplos particulares de la implementación de la norma T : $T$

$\mu_{A\cap B}(x)=\mu_{A}(x)\land \mu_{B}(x)=\min(\mu_{A}(x), \mu _{B}(x))$
${\ estilo de visualización \ mu _ {A \ cap B} (x) = \ mu _ {A} (x) \ mu _ {B} (x)}$
${\displaystyle \mu_{A\cap B}(x)=\max\{0,\mu_{A}(x)+\mu_{B}(x)-1\))$
$\mu_{A\cap B}(x)=\left\{{\begin{matriz}\mu_{A}(x),&\mu_{B}(x)=1\\ \mu _{B}(x),&\mu _{A}(x)=1\\0,&\mu _{A}(x)<1,\mu _{B}(x)<1 ,\end{matriz}}\right.$
$\mu _{A\cap B}(x)=1-\min\{1,[(1-\mu _{A}(x))^{p}+(1-\mu_{ B}(x))^{p}]^{1 \sobre p}\}$ , por $p\geqslant 1$

Consolidación

En el caso general, la operación de combinación de conjuntos borrosos se define como sigue:

\mu _{A\cup B}(x)=S(\mu _{A}(x),\mu _{B}(x))

donde la función es la T-conorma de . A continuación se muestran ejemplos particulares de la implementación de la norma S : $S$

$\mu_{A\cup B}(x)=\mu_{A}(x)\lor \mu_{B}(x)=\max(\mu_{A}(x), \mu _{B}(x))$
${\ estilo de visualización \ mu _ {A \ cup B} (x) = \ mu _ {A} (x) + \ mu _ {B} (x) - \ mu _ {A} (x) \ mu _ {B} }(X)}$
${\displaystyle \mu _{A\cup B}(x)=\min\{1,\mu _{A}(x)+\mu _{B}(x)\))$
$\mu_{A\cup B}(x)=\left\{{\begin{matriz}\mu_{A}(x),&\mu_{B}(x)=0\\ \mu _{B}(x),&\mu _{A}(x)=0\\1,&\mu _{A}(x)>0,\mu _{B}(x)>0 \end{matriz}}\right.$
$\mu _{A\cup B}(x)=\min\{1,[\mu _{A}^{p}(x)+\mu _{B}^{p}(x) ]^{1 \sobre p}\}$ , por $p\geqslant 1$

Conexión con la teoría de la probabilidad

La teoría de los conjuntos borrosos en cierto sentido se reduce a la teoría de los conjuntos aleatorios y por tanto a la teoría de la probabilidad . La idea principal es que el valor de la función de pertenencia puede considerarse como la probabilidad de que un elemento esté cubierto por algún conjunto aleatorio . $\mu _{A}(x)\$ $X\$ $B\$

Sin embargo, en la aplicación práctica, el aparato de la teoría de conjuntos borrosos se suele utilizar de forma independiente, actuando como un competidor del aparato de la teoría de la probabilidad y la estadística aplicada . Por ejemplo, en la teoría de control hay una dirección en la que se utilizan conjuntos borrosos (controladores borrosos) en lugar de métodos de teoría de probabilidad para sintetizar controladores expertos .

Ejemplos

Dejar:

un montón de $X=\{x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\}$
muchos accesorios $M=[0,1]$
$A$ y son dos subconjuntos borrosos $B$ $X$
- $A=\{(x_{1}\mid 0{,}4),(x_{2}\mid 0{,}6),(x_{3}\mid 0),(x_{4}\mid 1 )\}$
- $B=\{(x_{1}\mid 0{,}3),(x_{2}\mid 0),(x_{3}\mid 0),(x_{4}\mid 0{,}2 )\}$

Resultados de las principales operaciones:

intersección: ${A\cap B}=\{(x_{1}\mid 0{,}3),(x_{2}\mid 0),(x_{3}\mid 0),(x_{4}\mid 0{,}2)\}={B}$
una asociación: ${A\cup B}=\{(x_{1}\mid 0{,}4),(x_{2}\mid 0{,}6),(x_{3}\mid 0),(x_{ 4}\mid 1)\}={A}$

Notas

↑ Boletín de la Academia de Ciencias de la RSS de Georgia . - Academia, 1974. - S. 157. - 786 p. Archivado el 4 de abril de 2017 en Wayback Machine .
↑ Kozlova Natalia Nikolaevna. Imagen en color del mundo en lenguaje // Uchenye zapiski Zabaikal'skogo gosudarstvennogo universiteta. Serie: Filología, historia, estudios orientales. - 2010. - Edición. 3 . — ISSN 2308-8753 . Archivado desde el original el 4 de abril de 2017.
↑ Química y vida, siglo XXI . - Empresa "Química y Vida", 2008. - S. 37. - 472 p. Archivado el 4 de abril de 2017 en Wayback Machine .
↑ Lotfi A. Zadeh Fundamentos de un nuevo enfoque para el análisis de sistemas complejos y procesos de toma de decisiones (traducido del inglés por V. A. Gorelik, S. A. Orlovsky, N. I. Ringo) // Mathematics Today. - M., Conocimiento, 1974. - p. 5-48
↑ Leonenkov A. V. Modelado borroso en el entorno MATLAB y fuzzyTECH. San Petersburgo: BKhV�Peterbur, 2005. 736 p.: il. ISBN 5.94157.087.2
↑ AM Shirokov. Fundamentos de la Teoría de la Adquisición . - Ciencia y tecnología, 1987. - S. 66. - 190 p. Archivado el 18 de abril de 2021 en Wayback Machine .

Literatura

Zadeh L. El concepto de variable lingüística y su aplicación para tomar decisiones aproximadas. - M. : Mir, 1976. - 166 p.
Orlov AI Optimization problemas y variables difusas . - M .: Conocimiento, 1980. - 64 p.
Kofman A. Introducción a la teoría de conjuntos borrosos. - M. : Radio y comunicación, 1982. - 432 p.
Conjuntos borrosos y teoría de la posibilidad: Avances recientes / R. R. Yager. - M. : Radio y comunicación, 1986.
Zadeh LA Fuzzy sets // Información y Control. - 1965. - T. 8 , N º 3 . - Pág. 338-353.
Orlovsky SA Problemas de toma de decisiones con información inicial borrosa. — M .: Nauka, 1981. — 208 p. - 7600 copias.
Orlov A. I. , Lutsenko E. V. Matemáticas de intervalos difusos del sistema. — Monografía (edición científica). - Krasnodar, KubGAU. 2014. - 600 págs. [una]