Notación Voigt

La notación de Voigt es una forma matricial de escribir un tensor simétrico de cuarto rango. Fue propuesto por primera vez por el físico alemán Woldemar Voigt para el tensor de elasticidad en la formulación de la ley de Hooke para materiales anisotrópicos .

Notación

Si un tensor de 4 rangos tiene simetría en el primer y segundo par de índices: $c_{{ijkl}}$

{\displaystyle c_{ijkl}=c_{jikl))

{\displaystyle c_{ijkl}=c_{ijlk))

entonces sus elementos se pueden escribir como una matriz de 6x6 usando la siguiente sustitución de índice:

{\ estilo de visualización 11 \ flecha derecha 1}

{\ estilo de visualización 22 \ flecha derecha 2}

{\ estilo de visualización 33 \ flecha derecha 3}

{\ estilo de visualización 23,32 \ flecha derecha 4}

{\ estilo de visualización 13.31 \ flecha derecha 5}

{\ estilo de visualización 12,21 \ flecha derecha 6}

Por ejemplo, un componente corresponderá a un elemento de matriz . ${\ estilo de visualización c_ {3122}}$ ${\ estilo de visualización C_ {52}}$

Usando las mismas sustituciones de índice, uno puede escribir tensores simétricos de rango 2 como 6 vectores. Con esta representación, el resultado de la multiplicación de tensores, por lo general, no corresponde al resultado de la multiplicación de matrices. Para que la operación de multiplicación de tensores se escriba como una multiplicación de matrices , es posible que sea necesario introducir factores adicionales.

Notación matricial de la ley de Hooke

La ley de Hooke en forma de tensor tiene la forma (en adelante, se utiliza la convención de Einstein sobre la suma sobre índices repetidos):

{\ Displaystyle \ sigma _ {ij} = c_ {ijkl} \ varepsilon _ {kl}}

donde y son los tensores de tensión y deformación . Como estos tensores son simétricos, el tensor de módulo elástico tiene el grado de simetría necesario para poder escribirse en forma matricial. Además, de la relación: $\sigma_{ij}$ ${\ estilo de visualización \ varepsilon _ {kl}}$ $c_{{ijkl}}$

{\displaystyle c_{ijkl}={\frac {\parcial ^{2}F}{\parcial \varepsilon _{ij}\parcial \varepsilon _{kl))))

donde esta la energia libre $F$ [ aclarar ] en el caso de deformación isotérmica, o energía interna en deformación adiabática , sigue . De ello se deduce que solo hay 21 componentes linealmente independientes del tensor constante elástico [1] . Por lo tanto, la matriz compuesta por los componentes será simétrica. La ley de Hooke se puede escribir de la siguiente forma: ${\displaystyle c_{ijkl}=c_{klij))$ $C_{\alfa \beta}$ $c_{{ijkl}}$

{\ Displaystyle \ sigma _ {\ alfa} = C_ {\ alfa \ beta} \ epsilon _ {\ beta}}

donde los índices van de 1 a 6, o: $\Alfa Beta$

{\begin{pmatrix}\sigma_{11}\\\sigma_{22}\\\sigma_{33}\\\sigma_{23}\\\sigma_{13}\\\ sigma _ {12}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}c_{1111}&c_{1122}&c_{1133}&c_{1123}&c_{1113}&c_{1112}\\\cdot &c_{2222} &c_{2233}&c_{2223}&c_{2213}&c_{2212}\\\cdot &\cdot &c_{3333}&c_{3323}&c_{3313}&c_{3312}\\\cdot &\cdot &\cdot &c_ {2323}&c_{2313}&c_{2312}\\\cdot &\cdot &\cdot &\cdot &c_{1313}&c_{1312}\\\cdot &\cdot &\cdot &\cdot &\cdot &c_{ 1212}\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{33}\\2\varepsilon _{23}\\2 \varepsilon _{13}\\2\varepsilon _{12}\end{pmatrix}}

En esta notación, el coeficiente 2 para los componentes del tensor de deformación , , es necesario para que las ecuaciones matriciales coincidan exactamente con las ecuaciones del tensor. Por ejemplo, en la ley de Hooke, la ecuación del componente incluye el término , que en la notación matricial corresponde al término . ${\ estilo de visualización \ varepsilon _ {23}}$ ${\ estilo de visualización \ varepsilon _ {13}}$ ${\ estilo de visualización \ varepsilon _ {12}}$ $\sigma_{11}$ ${\ Displaystyle c_ {1123} \ varepsilon _ {23} + c_ {1132} \ varepsilon _ {32}}$ $c_{1123}2\varepsilon _{23}$

La ley de Hooke se puede escribir en una forma tensorial equivalente, en términos del tensor del módulo de cumplimiento : ${\ Displaystyle s_ {ijkl}}$

{\displaystyle \varepsilon _{ij}=s_{ijkl}\sigma _{kl))

El tensor se caracteriza por el mismo grado de simetría que . Por tanto, sus componentes también se pueden escribir como una matriz de 6x6 elementos. Sin embargo, esta matriz no será inversa a la matriz . ${\ Displaystyle s_ {ijkl}}$ $c_{{ijkl}}$ $C_{\alfa \beta}$

La ecuación matricial inversa , donde , es la siguiente: ${\displaystyle \epsilon _{\alpha }=S_{\alpha \beta }\sigma _{\beta ))$ ${\ estilo de visualización S = C ^ {-1}}$

{\begin{pmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{33}\\2\varepsilon _{23}\\2\varepsilon _{13}\ \2\varepsilon _{12}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}s_{1111}&s_{1122}&s_{1133}&2s_{1123}&2s_{1113}&2s_{1112}\\\cdot &s_ {2222}&s_{2233}&2s_{2223}&2s_{2213}&2s_{2212}\\\cdot &\cdot &s_{3333}&2s_{3323}&2s_{3313}&2s_{3312}\\\cdot &\cdot & \cdot &4s_{2323}&4s_{2313}&4s_{2312}\\\cdot &\cdot &\cdot &\cdot &4s_{1313}&4s_{1312}\\\cdot &\cdot &\cdot &\cdot &\ cdot &4s_{1212}\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{33}\\\sigma _{23}\ \\sigma _{13}\\\sigma _{12}\end{pmatriz}}

Transformación de rotación

Durante la transición del sistema de coordenadas cartesianas al sistema de coordenadas cartesianas por rotación, las componentes del tensor de constantes elásticas se transforman según la siguiente fórmula de acuerdo con la transformación del tensor de cuarto rango [2] : ${\ estilo de visualización x_{1},x_{2},x_{3))$ ${\displaystyle x_{1}^{\principal},x_{2}^{\principal},x_{3}^{\principal})$

{\displaystyle C'_{ijkl}=n_{i\alpha }n_{j\beta }n_{k\gamma }n_{l\delta }C_{\alpha \beta \gamma \delta ))

Ejemplos

El tensor de elasticidad de un material isotrópico: las propiedades elásticas están determinadas por 2 constantes (en este ejemplo, las constantes de Lame y ): $\lambda$ $\mu$

{\begin{pmatrix}\lambda +2\mu &\lambda &\lambda &0&0&0\\\lambda &\lambda +2\mu &\lambda &0&0&0\\\lambda &\lambda &\lambda +2\ mu &0&0&0\\0&0&0&\mu &0&0\\0&0&0&0&\mu &0\\0&0&0&0&0&\mu \\\end{matrix}}

El tensor de elasticidad de un material con simetría hexagonal: un cuerpo con simetría hexagonal se caracteriza por la presencia de un eje de simetría (en este caso ), al girar alrededor del cual las propiedades no cambian; se describe mediante 5 constantes elásticas independientes: $x_{3}$

{\begin{pmatrix}c_{1111}&c_{1122}&c_{1133}&0&0&0\\c_{1122}&c_{1111}&c_{1133}&0&0&0\\c_{1133}&c_{1133}&c_{3333 }&0&0&0\\0&0&0&c_{2323}&0&0\\0&0&0&0&c_{2323}&0\\0&0&0&0&0&{\frac {1}{2}}(c_{1111}-c_{1122})\\\end{pmatrix}}

La matriz unitaria corresponde al tensor "simetrizante" unitario : $yo$

I_{ijkl}={\frac {1}{2}}(\delta_{ik}\delta_{jl}+\delta_{il}\delta_{jk})

Notas

↑ Filtros sobre ondas acústicas superficiales (cálculo, tecnología y aplicación) = Filtros de ondas superficiales: diseño, construcción y uso / Ed. V. B. Akpambetova. - M. : Radio y comunicación, 1981. - S. 11. - 472 p. - 5000 copias.
↑ Witold Novacky. Teoría Sprezystosci . Panstowe Wydawnitctwo Naukowe (1970). Consultado el 17 de diciembre de 2019. Archivado desde el original el 17 de diciembre de 2019. (indefinido)

Literatura

M. A. Akivis, V. V. Goldberg. Cálculo tensorial . - M. : Nauka, 1969. - 352 p.
V. Novatsky. Teoría de la elasticidad / trad. B. E. Pobedrya . — M .: Mir, 1975. — 871 p.
T. D. Shermergaard. Teoría de la elasticidad de medios microhomogéneos. - M. : Nauka, 1977. - 399 p.