Convención de einstein

En el análisis tensorial , en particular en sus aplicaciones a la relatividad general , la elasticidad y la geometría diferencial , al escribir expresiones a partir de cantidades multicomponente numeradas con superíndices y subíndices ( tensores ), es conveniente utilizar una regla llamada convención de Einstein (también conocida como " Regla de la suma de Einstein "): si la misma letra en la designación del índice aparece en un monomio tanto arriba como abajo, se supone que dicho monomio se suma a todos los valores que puede tomar este índice. Por ejemplo, en la expresión

v_k=a_ib^i_k

el índice ocurre tanto arriba como abajo, por lo que esta expresión se considera equivalente a la suma $i$

v_k=\sum_i{a_ib^i_k}.

Más precisamente

v_k=\sum_{i=1}^n a_ib^i_k,

donde es la dimensión del espacio sobre el que se definen y (aquí se supone que la numeración de coordenadas parte de uno). $norte$ $a$ $b$

El índice sobre el que se realiza la sumatoria se llama mudo ; puede ser reemplazada por cualquier letra, mientras que el valor de la expresión en la que entra no cambia (obviamente, ). Si el índice no es mudo ( un índice libre), debe ocurrir en la misma posición en ambas partes de la (des)igualdad; de hecho, en este caso, una expresión es un sistema de expresiones (igualdades o desigualdades), cuyo número es igual a n s , donde s es el número de índices libres. Por ejemplo, si la dimensión n = 4 , entonces la expresión ${\displaystyle a_{i}b^{i}\equiv a_{j}b^{j))$

{\displaystyle r_{lk}=p_{li}q_{k}^{i))

con dos índices libres k y l es una notación abreviada de 4 2 = 16 igualdades, en el lado derecho de cada una de las cuales está la suma de cuatro productos:

r_{11}=p_{11}q_{1}^{1}+p_{12}q_{1}^{2}+p_{13}q_{1}^{3}+p_{14 }q_{1}^{4};

r_{12}=p_{11}q_{2}^{1}+p_{12}q_{2}^{2}+p_{13}q_{2}^{3}+p_{14 }q_{2}^{4};

...

r_{44}=p_{41}q_{4}^{1}+p_{42}q_{4}^{2}+p_{43}q_{4}^{3}+p_{44 }q_{4}^{4}.

En el caso de utilizar expresiones en forma de fracciones, como las derivadas parciales, los superíndices escritos en el denominador se consideran subíndices para la aplicación de la regla y viceversa; por ejemplo, la expresión

\sum _{i=1}^{n}{\frac {\parcial f}{\parcial x_{i))}dx_{i},

se escribe en forma

{\displaystyle {\frac {\parcial f}{\parcial x_{i))}dx_{i))

o de forma aún más sencilla, cuando la coma antes del índice denota una diferenciación parcial con respecto a la coordenada correspondiente:

f^{,i}dx_{i}.

En algunos casos [1] (si siempre se supone que el tensor métrico es igual a δ ik ), los índices superior e inferior de las fórmulas no se distinguen. En este caso, la sumatoria se realiza sobre cualquier par de índices repetidos que se presenten en el mismo producto de tensores. Por ejemplo, en el espacio euclidiano tridimensional $\mathbb{R} ^{3}$

D_{\alpha \beta }n_{\alpha }=\sum _{\alpha =1}^{3}D_{\alpha \beta }n_{\alpha }.

Usando la convención estándar de Einstein , se debe escribir . $D^{\alfa}_{\beta}n_\alfa$

Notas

↑ Por ejemplo, en la teoría de la elasticidad. Véase L. D. Landau y E. M. Lifshitz, Theoretical Physics. T.VII. Teoría de la elasticidad. — M .: Nauka, 1987.