Progresión aritmética generalizada

Progresión aritmética generalizada : un conjunto de números o elementos de un grupo arbitrario , representable como $GRAMO$

\left\lbrace {a+\sum \limits _{i=1}^{k}{\lambda _{i}d_{i}}\ :\ 0\leq \lambda _{i}<n_{ i},\ i=1,\puntos,k}\right\rbrace

para algunos [una] ${\displaystyle d_{1},\puntos,d_{k},n_{1},\puntos,n_{k))$

Terminología relacionada

Una progresión se llama propia si todos los números de la forma son diferentes, es decir, contiene elementos. $a+\sum \limits _{i=1}^{k}{\lambda _{i}d_{i))$ ${\displaystyle n_{1}\cdot \ldots \cdot n_{k))$

El rango (o dimensión ) de la progresión es el número de términos en la representación de cada elemento (en la notación anterior, el número ). $k$

Cuando , la progresión aritmética generalizada también se denomina cubo de [2] dimensiones (porque hay una aplicación lineal desde ) hacia él. $n_{1}=\puntos =n_{k}=2$ $d$ $\left\lbrace {0,1}\right\rbrace ^{d}$

Cuando el conjunto es una progresión aritmética ordinaria . $k=1$

Ámbito de uso

Las progresiones aritméticas generalizadas son una construcción que está menos estructurada que la progresión aritmética habitual, pero sin embargo tiene una estructura no trivial (cuando el tamaño de la progresión es grande y el rango es pequeño). Esto los convierte en una herramienta conveniente para estudiar y generalizar los teoremas de la combinatoria aritmética relacionados con la derivación de la estructura a partir de las características numéricas de un conjunto, como la energía aditiva , el factor de duplicación , etc. [3]

Algunos teoremas estructurales de combinatoria aditiva prueban la existencia de una progresión aritmética generalizada de rango suficientemente pequeño y tamaño grande en conjuntos suficientemente ordenados, o la posibilidad de cubrir tal conjunto por una progresión aritmética generalizada de rango pequeño y pequeño (limitada por alguna fórmula en el tamaño del conjunto) tamaño.

Las progresiones aritméticas generalizadas se pueden utilizar para demostrar el teorema de Roth . [cuatro]

En general, probar la presencia de progresiones aritméticas generalizadas en un conjunto, con base en algunos hechos conocidos sobre este conjunto, suele ser más fácil que probar la presencia de progresiones aritméticas ordinarias.

Véase también

Combinatoria aditiva
teorema de freiman

Notas

↑ OEIS Wiki, "Progresiones aritméticas generalizadas" . Consultado el 8 de mayo de 2018. Archivado desde el original el 11 de mayo de 2018. (indefinido)
↑ WT Gowers, "Una nueva demostración del teorema de Szemeredi", 2001 . Consultado el 8 de mayo de 2018. Archivado desde el original el 11 de mayo de 2018. (indefinido)
↑ P. L. Chebyshev Mathematical Laboratory, curso de Harald Helfgott "Viaje a través de áreas modernas de análisis y teoría de números", conferencia 2
↑ Graham, 1984 , pág. 29-33.

Literatura

Ronal Graham. Comienzos de la teoría de Ramsey. — M .: Mir, 1984.