Diseño generalizado

El esquema de diseño generalizado [ 1] [2] [3] de partículas en celdas se define de la siguiente manera.

Definición

Sean variables aleatorias enteras no negativas (v.r.) , cuya suma es igual a , asociadas con v.r. enteras no negativas independientes . la siguiente proporción: $\eta_1,\puntos,\eta_N$ $norte$ $\xi_1,\puntos,\xi_N$

\mathbb{P}\{\eta_1=k_1,\dots,\eta_N=k_N\}=\mathbb{P}\{\xi_1=k_1,\dots,\xi_N=k_N\;|\;\xi_1+\dots+ \xi_N=n\}\qquad(1)

para todos los enteros no negativos cuya suma es igual a . Luego dicen que r.v. formar un esquema de diseño generalizado (GSR). $k_1,\puntos,k_N$ $norte$ $\eta_1,\puntos,\eta_N,\xi_1,\puntos,\xi_N$

Si el GSR es simétrico, es decir, todas las v.r. tienen la misma distribución, entonces la probabilidad de la derecha en (1) se puede escribir como: $\xi_k$

\mathbb{P}\{\eta_1=k_1,\dots,\eta_N=k_N\}=\frac{p_{k_1}\dots p_{k_N}}{\sum\limits_{j_1+\dots+j_N=n} p_{j_1}\puntos p_{j_N}},\qquad(2)

dónde $p_k=\mathbb{P}\{\xi_1=k\},\quad k=0,1,2\dots$

Tipos de esquemas

Diseño canónico

El caso más común de OCP es el esquema de asignación canónica , [4] para el cual

\mathbb{P}\{\eta_1=k_1,\dots,\eta_N=k_N\}=\frac{b_{k_1}\dots b_{k_N)){\sum\limits_{j_1+\dots+j_N=n} b_{j_1}\puntos b_{j_N}},\qquad(3)

donde es una sucesión de números no negativos tal que , el radio de convergencia de la serie es 1, y el paso máximo del soporte de la sucesión es 1. $b_0,b_1,\puntos$ $b_0>0$ $B(x)=\sum\limits_{k=0}^\infty b_kx^k$ $b_0,b_1,\puntos$

Al esquema canónico por una transformación lineal de la r.v. todos los esquemas de la forma (3) se reducen sin las restricciones anteriores en la secuencia con una sola condición: un radio de convergencia finito y distinto de cero . El esquema (3) es obviamente un caso particular de (2) y por lo tanto (1). $\eta_1,\puntos,\eta_N$ $\{b_k\}$ $B(x)$

Diseño clásico

Esquema de colocación clásico (esquema de colocación equiprobable de partículas en las células), [2] en el que

\mathbb{P}\{\eta_1=k_1,\dots,\eta_N=k_N\}=\frac{n!}{k_1!\dots\;k_N!N^n},

no se reduce a canónico, ya que el radio de convergencia es igual a infinito. Pero es un caso especial de (2) (y por lo tanto (1)). $B(x)=e^x$

Aplicación

Los esquemas de asignación de la forma (1), (2) y (3) son un medio conveniente para estudiar objetos aleatorios como los bosques de Galton-Watson., [5] sustituciones aleatorias , [3] bosques recursivos [6] , etc.

Véase también

componente gigante

Literatura

↑ Kolchin V. F. Asignaciones aleatorias. — M .: Nauka, 1984.
↑ 1 2 Kolchin V. F., Sevastyanov B. A., Chistyakov V. P. Ubicaciones aleatorias. — M .: Nauka, 1976.
↑ 1 2 Kolchin V. F. Gráficos aleatorios. — M .: Fizmatlit, 2000.
↑ Kazimirov N. I. Galton-Watson bosques y sustituciones aleatorias . - Dis. para un aprendizaje paso. candó. f.-m.s. - Petrozavodsk, 2003. - 127 p. (enlace no disponible)
↑ Pavlov Yu. L. Bosques aleatorios. — Utrecht, VSP — 2000.
↑ Pavlov Yu. L., Loseva E. A. Limitar las distribuciones del tamaño máximo de un árbol en un bosque recursivo aleatorio // Matemáticas discretas. - 2002. - T. 14 , N º 1 . - S. 60-74 .