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En combinatoria , una asignación (de n a k ) es un conjunto ordenado de k elementos diferentes de algún conjunto de n elementos diferentes .

Ejemplo 1: es una asignación de 4 elementos de un conjunto de 6 elementos . $\ ángulo 1,3,2,5 \ ángulo$ $\{1,2,3,4,5,6\}$

Ejemplo 2: algunos arreglos de elementos de un conjunto por 2: … … … $\{1,2,3,4,5,6\}$ $\ ángulo 1,2 \ ángulo$ $\ángulo 1,3\rángulo$ $\ ángulo 1,4 \ ángulo$ $\ ángulo 1,5 \ ángulo$ $\ ángulo 2,1 \ ángulo$ $\ángulo 2,3\rángulo$ $\ángulo 2,4\rángulo$ $\ángulo 2,6\rángulo$

A diferencia de las combinaciones , las ubicaciones tienen en cuenta el orden de los elementos. Así, por ejemplo, los conjuntos y son arreglos diferentes, aunque estén formados por los mismos elementos (es decir, coincidan como combinaciones). $\ ángulo 2, 1, 3$ $\ ángulo 3, 2, 1$ $\{1, 2, 3\}$

Rellenar una fila significa colocar algún objeto del conjunto dado en algún lugar de esta fila (además, cada objeto puede usarse solo una vez). Una fila llena de objetos de un conjunto dado se llama ubicación, es decir, colocamos objetos en estos lugares. [una]

Número de ubicaciones

El número de ubicaciones de n a k , indicado por , es igual al factorial decreciente : $A_{n}^{k}$

A_{n}^{k}=n^{\subrayado {k))=(n)_{k}=n(n-1)\cdot \ldots \cdot (n-k+1)= {\frac{n!}{(nk)!}}

Expresado de manera elemental a través del símbolo de Pochhammer :

{\displaystyle A_{n}^{k}=(n-k+1)_{k))

La última expresión tiene una interpretación combinatoria natural: cada ubicación de n a k corresponde únicamente a alguna combinación de n a k y alguna permutación de los elementos de esta combinación; el número de combinaciones de n a k es igual al coeficiente binomial , ¡mientras que hay exactamente k permutaciones en k elementos ! cosas. $\tbinom{n}{k}$

Para k = n , el número de ubicaciones es igual al número de permutaciones de orden n : [2] [3] [4]

A_{n}^{n}=P_{n}=n!

La siguiente afirmación es verdadera: . La demostración es trivial: ${\displaystyle A_{n}^{n-1}=A_{n}^{n))$

A_{n}^{n-1}={\frac {n!}{(n-(n-1))!}}={\frac {n!}{(n-n+1) !}}=n!=A_{n}^{n}

Colocación con repeticiones

El anidamiento repetitivo o la recuperación de retorno [5] es el anidamiento de "elementos" bajo el supuesto de que cada "elemento" puede participar en el anidamiento varias veces.

Número de ubicaciones con repeticiones

De acuerdo con la regla de la multiplicación, el número de ubicaciones con repeticiones de n a k , indicado por , es: [6] [2] [5] $\bar{A}_n^k$

{\bar{A}}_{n}^{k}=n^{k}

Por ejemplo, el número de opciones para un código de 3 dígitos, en el que cada carácter es un dígito del 0 al 9 y se puede repetir, es:

{\bar{A}}_{10}^{3}=10^{3}=1000

Otro ejemplo: ubicaciones con repeticiones de 4 elementos a , b , c , d por 2 es 4 2 = 16, estas ubicaciones son las siguientes:

aa , ab , ac , ad , ba , bb , bc , bd , ca , cb , cc , cd , da , db , dc , dd .

Véase también

Enlaces

↑ ISBN 978-5-406-05433-8 Libro de texto de matemáticas para SPO editado por Bashmakov M.I. Archivado el 9 de diciembre de 2019 en Wayback Machine .
↑ 1 2 Vilenkin N. Ya . Capítulo III. Combinatoria de tuplas y conjuntos. Asignaciones con repeticiones // Combinatoria popular . - M. : Nauka, 1975. - S. 80. - 208 p.
↑ Teoría de la configuración y Teoría de la enumeración . Fecha de acceso: 30 de diciembre de 2009. Archivado desde el original el 23 de enero de 2010. (indefinido)
↑ Capítulo 3. Elementos de combinatoria Archivado el 4 de enero de 2010 en Wayback Machine . // Conferencias sobre la teoría de la probabilidad.
↑ 1 2 Korn G., Korn T. Tab. 18.7-2(2.b), 18.7-3(2.b) // Manual de matemáticas para científicos e ingenieros . - M. : Nauka, 1973. - S. 568. - 832 p.
↑ Análisis Combinatorio // Enciclopedia Matemática / Ed. I. M. Vinogradova. - M. , 1977. - T. 2. - S. 974. - (Enciclopedia soviética).