Integrales de Fresnel generalizadas

Las integrales de Fresnel generalizadas ( integrales de Böhmer ) son funciones especiales que generalizan las integrales de Fresnel . Introducido por Peter Böhmer en 1939 [1] .

Coseno de Fresnel generalizado:

\operatorname {C} (x,y)=\int _{x}^{\infty}t^{y-1}\cos(t)\,dt

Seno de Fresnel generalizado:

\operatorname {S} (x,y)=\int _{x}^{\infty}t^{y-1}\sin(t)\,dt

En consecuencia, las integrales de Fresnel habituales se expresan en términos de las integrales de Böhmer de la siguiente manera:

\operatorname {S} (y)={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\cdot \operatorname {S} \left(y ^{2},{\frac{1}{2}}\derecha)

\operatorname {C} (y)={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\cdot \operatorname {C} \left(y ^{2},{\frac{1}{2}}\derecha)

Además, a través de las integrales de Fresnel generalizadas, se puede expresar el seno integral y el coseno integral :

\operatorname {Si} (x)={\frac {\pi }{2}}-\operatorname {S} (x,0)

\operatorname {Ci} (x)={\frac {\pi }{2}}-\operatorname {C} (x,0)

Literatura

KB Oldham, JC Myland, J. español Un atlas de funciones . - 2ª ed. - Springer, 2008. - 748 págs.

Notas

↑ PE Bohmer. Differenzengleichungen und bestimmte Integrale (alemán) . - Leipzig, KF Koehler Verlag, 1939. - 148 S.