Método generalizado de momentos

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El método generalizado de momentos ( GMM ; inglés GMM - Generalized Method of Moments ) es un método utilizado en estadística matemática y econometría para estimar parámetros desconocidos de distribuciones y modelos econométricos, que es una generalización del método clásico de momentos . El método fue propuesto por Hansen en 1982. A diferencia del método clásico de momentos, el número de restricciones puede ser mayor que el número de parámetros estimados.

Esencia del método

Deje que la distribución de un vector aleatorio x dependa de algún vector de parámetros desconocidos b (el número de parámetros es k ). Sean también algunas funciones g(x, b) (su número q no es menor que el número de parámetros estimados), llamadas funciones de momento (o simplemente momentos ), para las cuales, por consideraciones teóricas, se supone que

$m(b)=E[g(x,b)]=0.$

La idea básica del método de momentos es usar, en condiciones de momento, en lugar de expectativas matemáticas, sus análogos de muestra: medias de muestra

${\sombrero {m}}(b)=\overline {g(x,b)},$

que, según la ley de los grandes números, en condiciones suficientemente débiles, debe converger asintóticamente a las expectativas matemáticas. Dado que el número de condiciones para momentos en el caso general es mayor que el número de parámetros estimados, este sistema de restricciones no tiene solución única.

El método generalizado de momentos (GMM) es una estimación que minimiza una forma cuadrática definida positiva de las condiciones de la muestra a los momentos en los que se utilizan las medias de la muestra en lugar de las expectativas matemáticas:

${\sombrero {b}}_{{GMM}}=\arg \min_{{b}}{\sombrero {m}}(b)^{T}W{\sombrero {m}}(b),$

donde W es una matriz definida positiva simétrica.

La matriz de pesos puede ser arbitraria (teniendo en cuenta la definición positiva), pero se ha demostrado que que las más eficientes son las estimaciones GMM con una matriz de peso igual a la matriz de covarianza inversa de las funciones de momento . Este es el llamado GMM eficiente . $W=V_{g}^{{-1}}$

Sin embargo, dado que esta matriz de covarianza no se conoce en la práctica, se aplica un procedimiento de dos pasos ( two-step GMM - Hansen, 1982):

Paso 1. Los parámetros del modelo se estiman utilizando GMM con matriz de peso unitario.

Paso 2. Con base en los datos de la muestra y los valores de los parámetros encontrados en el primer paso, se estima la matriz de covarianza de las funciones de momento y la estimación resultante se usa en el GMM efectivo. ${\sombrero {V}}_{g}=\overline {g(x,{\sombrero {b}})g(x,{\sombrero {b}})^{T}}$

Este procedimiento de dos pasos se puede continuar ( GMM iterativo ): usando estimaciones de parámetros del modelo en el segundo paso, se vuelve a estimar la matriz de covarianza de momentos y se vuelve a aplicar el GMM efectivo, etc. iterativamente hasta lograr la precisión requerida.

También es posible abordar la minimización numérica de la función objetivo con respecto a parámetros desconocidos . Así, tanto los parámetros como la matriz de covarianza se evalúan simultáneamente. Este es el llamado GMM de Actualización Continua (Hansen, Heaton, Yaron, 1996). ${\sombrero {m}}^{T}(b){\sombrero {V}}_{g}^{{-1}}(b){\sombrero {m}}(b)$ $b$

Propiedades del método

Las estimaciones del método generalizado de momentos bajo condiciones suficientemente débiles son consistentes, asintóticamente normales, y las estimaciones del GMM efectivo también son asintóticamente eficientes. Se puede demostrar que

{\sqrt {n}}({\hat b}_{{GMM}}-b){\xrightarrow {d}}N(0,V_{{b}}).

En general

$V_{{b}}=(G^{T}WG)^{{-1}}G^{T}WV_{g}WG(G^{T}WG)^{{-1}}$

donde G es la esperanza de la matriz de las primeras derivadas de g con respecto a los parámetros. En el caso de un GMM efectivo, la fórmula de la matriz de covarianza se simplifica mucho:

$V_{b}=G^{T}V_{g}^{{-1}}G.$

Prueba J

Cuando se utiliza GMM, una prueba importante son las restricciones de sobreidentificación (prueba J) . La hipótesis nula es que las condiciones (restricciones) sobre los momentos se mantienen (es decir, los supuestos del modelo son correctos). La alternativa es que estén equivocados.

El estadístico de prueba es igual al valor de la función objetivo GMM multiplicado por el número de observaciones. Con la hipótesis nula

$J=n{\sombrero {m}}^{T}({\sombrero {b}}){\sombrero {V}}_{g}^{{-1}}{\sombrero {m}}({ \hat {b))))~{\xrightarrow {d}}~\chi ^{2}(qk).$

Así, si los valores estadísticos son mayores que el valor crítico de la distribución en un nivel de significación dado , entonces se rechazan las restricciones (el modelo es inadecuado), de lo contrario el modelo se reconoce como adecuado. $\chi ^{2}(qk)$

Véase también

Literatura

Magnus Ya.R., Katyshev P.K., Peresetsky A.A. Econometría. Curso inicial. - M. : Delo, 2007. - 504 p. - ISBN 978-5-7749-0473-0 .