Espacio anillado

Un espacio anillado es un espacio topológico , cada conjunto abierto del cual está asociado con un anillo conmutativo de "funciones" en este conjunto. Los espacios anillados, en particular, se utilizan en la definición de esquemas .

Definición

Un espacio anillado es un espacio topológico junto con un haz de anillos conmutativos en él. Este haz se denomina haz estructural espacial . $(X,{\matemática O}_{X})$ $X$ ${\ matemáticas O}_{X}$ $X$

Un espacio localmente anillado es un espacio anillado tal que la fibra del haz en cualquier punto es un anillo local . ${\ matemáticas O}_{X}$

Ejemplos

Cualquier espacio topológico puede estar dotado de la estructura de un espacio localmente anillado si consideramos un haz de funciones reales continuas sobre él. La fibra de este haz en el punto x —el anillo de gérmenes de funciones continuas de valor real en x— es un anillo local cuyo único ideal máximo son los gérmenes de funciones que se anulan en x . De manera similar, una variedad suave con un lápiz de funciones suaves es un espacio localmente anillado.

Si X es una variedad algebraica con la topología de Zariski (por ejemplo, el espectro de algún anillo), la estructura de un espacio localmente anillado en él se introduce de la siguiente manera: es el conjunto de funciones racionales definidas en todo U . Tal espacio anillado se denomina esquema afín , los esquemas generales se definen como el resultado de "pegar" varios esquemas afines. ${\mathcal O}_{X}(U)$

Morfismos de espacios anillados

Para especificar un morfismo de a , debe corregir la siguiente información: $(X,{\matemática O}_{X})$ $(Y,{\mathcal {O}}_{Y})$

Visualización continua . $f:X\a Y$
Para cada subconjunto abierto , un homomorfismo de anillos . ${\ estilo de visualización U \ en Y}$ $\varphi _{U}:{\mathcal {O}}_{Y}(U)\to {\mathcal {O}}_{X}(f^{-1}(U))$

Los homomorfismos de anillos deben ser consistentes con la estructura de la gavilla, es decir, deben conmutar con mapeos de restricción. Es decir, si son subconjuntos abiertos de , el siguiente diagrama debe ser conmutativo: $V_{1}\subconjunto V_{2}$ $Y$

Los morfismos de espacios localmente anillados deben satisfacer un requisito más. Los homomorfismos para cada punto inducen un homomorfismo de una capa en un punto a una capa en un punto . Se requiere que todos estos homomorfismos sean locales , es decir, lleven el ideal maximal de la preimagen a un subconjunto del ideal maximal de la imagen. $\varphi$ $x\en X$ ${\mathcal {O}}_{Y}$ $f(x)$ ${\ matemáticas O}_{X}$ $X$

Espacio tangente

La estructura de espacios localmente anillados nos permite introducir una definición significativa de un espacio tangente en su punto. Considere un punto en el espacio anillado . Considere un anillo local (fibra de haz en x ) con ideal máximo . Entonces es un campo, es un espacio vectorial sobre este campo. El espacio tangente en un punto se define como el dual de este espacio. $x\en X$ $(X,{\matemática O}_{X})$ $R_{x}$ ${\mathfrak{m}}_{x}$ $R_{x}/{\mathfrak{m}}_{x}$ ${\mathfrak {m}}_{x}/{\mathfrak {m}}_{x}^{2}$ $X$

La idea es esta: el espacio tangente consiste en vectores a lo largo de los cuales se pueden "diferenciar" las "funciones" en un punto dado, es decir, los elementos del anillo . Basta con encontrar la manera de diferenciar funciones cuyo valor en un punto dado sea igual a cero, ya que el resto difieren de ellas por una constante, es decir, basta con describir las derivadas de funciones de . En este caso, la diferencial del producto de dos funciones de es igual a cero (queremos que la fórmula de la derivada del producto se mantenga verdadera). Por tanto, el vector debe asignar un número a cada elemento , y esto es lo que hacen los elementos del espacio dual . $R_{x}$ ${\mathfrak{m}}_{x}$ ${\mathfrak{m}}_{x}$ ${\mathfrak {m}}_{x}/{\mathfrak {m}}_{x}^{2}$

Es fácil comprobar que en el caso de variedades suaves con un haz de funciones suaves esta definición coincide con la habitual. Por otro lado, en el caso de un espacio topológico con un lápiz de funciones continuas (valores reales) , ya que para una función continua la función también es continua. Por tanto, en este caso, el espacio tangente en cualquier punto tiene dimensión 0. ${\mathfrak {m}}_{x}={\mathfrak {m}}_{x}^{2}$ $f(x)$ ${\sqrt {|f(x)|}}$

Literatura

Grothendieck, Alexandre; Dieudonne, Jean (1960). Elements de geométrie algébrique: I. Le langage des schémas. Archivado el 6 de marzo de 2016 en Wayback Machine Publications Mathématiques de l'IHÉS 4. Sección 0.4.
Espacio anillado : artículo de la Enciclopedia de Matemáticas . A. L. Onishchik