Anillo (matemáticas)

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Un anillo (también un anillo asociativo ) en álgebra general es una estructura algebraica en la que se definen la operación de suma reversible y la operación de multiplicación , similares en propiedades a las correspondientes operaciones sobre números . Los ejemplos más simples de anillos son colecciones de números ( entero , real , complejo ), colecciones de funciones numéricas definidas en un conjunto dado. En todos los casos, hay un conjunto similar a las colecciones de números en el sentido de que sus elementosse pueden sumar y multiplicar, y estas operaciones se comportan naturalmente [1] .

Para estudiar las propiedades generales de las operaciones de multiplicación y suma, su conexión interna entre sí, independientemente de la naturaleza de los elementos sobre los que se realizan las operaciones, se introdujo el concepto de anillo [2] .

Los anillos son el principal objeto de estudio de la teoría de anillos : una sección importante del álgebra general, en la que se han desarrollado herramientas que han encontrado una amplia aplicación en geometría algebraica , teoría algebraica de números , teoría algebraica $k$ y teoría invariante .

Historia

El rápido desarrollo del álgebra como ciencia comenzó en el siglo XIX. Una de las principales tareas de la teoría de números en las décadas de 1860 y 1870 fue la construcción de una teoría de la divisibilidad en los campos generales de los números algebraicos . La solución a este problema fue publicada por Richard Dedekind ("Suplemento X a las conferencias sobre la teoría de los números de Dirichlet", 1871). En este trabajo se consideró primero el concepto de anillo de números enteros de un cuerpo numérico, en este contexto se definieron los conceptos de módulo e ideal [3] .

Definición

Un anillo es un conjunto en el que se dan dos operaciones binarias : y (llamadas suma y multiplicación ), con las siguientes propiedades que se cumplen para cualquier : $R$ $+$ $\veces$ $a, b, c \en R$

$un + segundo = segundo + un$ — conmutatividad de la suma;
$a + (b + c) = (a + b) + c$ - asociatividad de la suma;
$\existe 0 \in R\ \left(a + 0 = 0 + a = a\right)$ - la existencia de un elemento neutro con respecto a la adición;
$\forall a\in R\;\existe b\in R\left(a+b=b+a=0\right)$ - la existencia del elemento opuesto con respecto a la adición;
$(a \times b) \times c=a \times (b \times c)$ — asociatividad de la multiplicación;
$\left\{{\begin{matriz}a\times (b+c)=(a\times b)+(a\times c)\\(b+c)\times a=(b\times a)+(c\times a)\end{matriz}}\right.$ - distributividad .

En otras palabras, un anillo es un álgebra universal que es un grupo abeliano con respecto a la suma , un semigrupo con respecto a la multiplicación y es distributivo de dos lados con respecto a . $\izquierda(R,+,\veces\derecha)$ $+$ $\veces$ $\veces$ $+$

Los anillos pueden tener las siguientes propiedades adicionales:

la presencia de una unidad : ( un anillo con una unidad ), generalmente una unidad se denota por 1; $\existe e \en R\; \forall a \in R \left(a \times e = e \times a = a\right)$
conmutatividad de la multiplicación: ( anillo conmutativo ); $\para todo a, b \in R \left(a \times b = b \times a\right)$

A veces un anillo se entiende solo como un anillo con una unidad [4] (es decir, se requiere que sea un monoide ), pero también se estudian anillos sin unidad (por ejemplo, un anillo de números pares es un anillo asociativo conmutativo sin unidad [5] ). ${\ estilo de visualización \ izquierda (R, \ veces \ derecha)}$

En lugar de un símbolo, a menudo se usa un símbolo (o se omite por completo). $\veces$ $\cdot$

Las propiedades más simples

Las siguientes propiedades se pueden deducir directamente de los axiomas de los anillos:

con respecto a la adición en el anillo, el elemento neutro es único;
para cualquier elemento del anillo, el elemento inverso a él además es único;
el elemento neutro bajo la multiplicación, si existe, es único;
$a\cdot 0 = 0,$ es decir, 0 es un elemento absorbente por multiplicación;
$(-b) = (-1) \cdot b,$ donde es el elemento inverso a además; $(-b)$ $b$
$(-a) \cdot b = (-ab);$
$(-a) \cdot (-b) = (ab).$ [6] [5]

Conceptos básicos

Tipos de elementos de anillo

Deje que el anillo tenga elementos distintos de cero (el anillo no es trivial ). Entonces, el divisor de cero izquierdo es un elemento distinto de cero del anillo para el cual existe un elemento distinto de cero del anillo tal que el divisor de cero derecho se define de manera similar. En los anillos conmutativos estos conceptos coinciden. Ejemplo: consideremos un anillo de funciones continuas en un intervalo Seamos entonces que son divisores de cero. Aquí la condición significa que es una función distinta de cero, pero no significa que no tome un valor en cualquier parte [7] $a$ $R,$ $b$ $R$ $ab=0.$ $(-once).$ $f(x)=\max(0, x),$ $g(x)=\max(0, -x).$ $f\ne0, g\ne0, fg=0,$ $f, g$ $f\ne0$ $F$ $F$ $0.$

Un elemento nilpotente es un elemento tal que para algunos Ejemplo: una matriz Un elemento nilpotente es siempre un divisor de cero (a menos que el anillo consista en un cero), lo contrario no es cierto en el caso general [8] . $a,$ $un ^ n = 0$ $n > 0.$ $\bigl(\begin{smallmatrix} 0 & 1\\0 & 0 \end{smallmatrix}\bigr).$

Un elemento idempotente es un elemento tal que, por ejemplo, cualquier operador de proyección es idempotente , en particular, el siguiente: en el anillo matriz [9] $mi$ $e\cdot e=e.$ $\bigl(\begin{pequeña matriz} 1 & 0\\0 & 0 \end{pequeña matriz}\bigr)$ $2\veces 2.$

Si es un elemento arbitrario de un anillo con identidad, entonces el elemento inverso izquierdo de k es tal que el elemento inverso derecho se define de manera similar. Si un elemento tiene un elemento inverso tanto a la izquierda como a la derecha, entonces estos últimos coinciden, y dicen que tiene un elemento inverso, que se define y denota de manera única . El elemento en sí se llama elemento invertible. [7] $a$ $R,$ $a$ $un^{-1}_{l}$ $a^{-1}_{l}a=1.$ $a$ $a$ $un^{-1}.$

Subanillo

Un subconjunto se llama subanillo si él mismo es un anillo con respecto a las operaciones definidas en En este caso, se dice que es una extensión del anillo [10] En otras palabras, un subconjunto no vacío es un subanillo si $A\subconjunto R$ $R,$ $A$ $r$ $R$ $UNA.$ $A\subconjunto R$

$A$ es un subgrupo aditivo del anillo , es decir, para cualquier $R,$ $x, y \en A : x+y, -x \en A,$
$A$ es cerrado bajo la multiplicación, es decir, para cualquier $x, y \en A : xy \en A.$

Por definición, un subanillo no está vacío porque contiene el elemento nulo . El cero y el uno de un anillo son el cero y el uno de cualquiera de sus subanillos [11] .

El subanillo hereda la propiedad de conmutatividad [12] .

La intersección de cualquier conjunto de subanillos es un subanillo. El subanillo más pequeño que contiene un subconjunto se llama subanillo generado por un sistema generador para el anillo.Tal subanillo siempre existe, ya que la intersección de todos los subanillos que contienen satisface esta definición. [once] $E\subconjunto R$ $MI,$ $mi$ $r$ $MI,$

Un subanillo de un anillo con identidad generada por su identidad se llama el subanillo más pequeño o principal del anillo.Tal subanillo está contenido en cualquier subanillo del anillo [13] $R,$ $r$ $r$

Ideales

La definición y el papel del ideal de un anillo es similar a la definición de un subgrupo normal en la teoría de grupos [14] .

Un subconjunto no vacío de un anillo se llama ideal izquierdo si: $yo$ $R$

$yo$ es un subgrupo aditivo del anillo, es decir, la suma de dos elementos cualquiera de pertenece a y $yo$ $yo$ $a\in I\Rightarrow -a\in I.$

$yo$ se cierra bajo la multiplicación a la izquierda por un elemento arbitrario del anillo, es decir, para cualquiera es verdadero . $a\en yo,$ $r\en R$ $ra\in yo$

La primera propiedad también implica que está cerrado bajo multiplicación dentro de sí mismo, por lo que es un subanillo. $yo$ $yo$

Un ideal recto que se cierra bajo la multiplicación por un elemento del anillo de la derecha se define de manera similar.

Un ideal de dos lados (o simplemente un ideal) de un anillo es cualquier subconjunto no vacío que es tanto un ideal izquierdo como derecho. $R$

Además, el ideal de un anillo se puede definir como el núcleo de algún homomorfismo [15] . $R$ ${\ estilo de visualización f: R \ a R'}$

Si es un elemento del anillo , entonces el conjunto de elementos de la forma (respectivamente, ) se llama ideal principal izquierdo (respectivamente, derecho) generado por . Si el anillo es conmutativo, estas definiciones coinciden y se denota el ideal principal generado Por ejemplo, el conjunto de todos los números pares forma un ideal en el anillo de los enteros, este ideal es generado por el elemento 2. Se puede probar que todo los ideales en el anillo de los enteros son principales [16] . $X$ $R$ $Rx$ $xR$ $X$ $R$ $X,$ $(X).$

Un ideal de un anillo que no coincide con todo el anillo se llama simple si el anillo cociente de este ideal no tiene divisores de cero. Un ideal de un anillo que no coincide con todo el anillo y no está contenido en ningún ideal mayor que no sea igual al anillo se llama maximal [17] .

Homomorfismo

Un homomorfismo de anillos (ring homomorphism) es un mapeo que conserva las operaciones de suma y multiplicación. Es decir, un homomorfismo anillo a anillo es una función tal que $R$ $S$ ${\ estilo de visualización f: R \ a S,}$

$f(a + b) = f(a) + f(b)$ ,
$f(a\cdot b)=f(a)\cdot f(b),~\forall a,b\in ~R$ .

En el caso de anillos con identidad, a veces también se requieren las condiciones [18] [19] . $f(1) = 1$

Un homomorfismo de anillos se llama isomorfismo si existe un homomorfismo de anillos inverso . Todo homomorfismo biyectivo de anillos es un isomorfismo. Un automorfismo es un homomorfismo de un anillo en sí mismo, que es un isomorfismo. Ejemplo: el mapeo de identidad de un anillo sobre sí mismo es un automorfismo [20] .

Si es un homomorfismo de anillos, el conjunto de elementos que desaparecen se denomina núcleo (indicado por ). El núcleo de cualquier homomorfismo es un ideal de dos colas [21] . Por otro lado, la imagen no siempre es un ideal, sino un subanillo [15] (denotado por ). $f:R\a S$ $R,$ $F$ $\mathrm{ker} f$ $F$ $S$ $\mathrm{im}f$

Anillo de factores

La definición de un anillo cociente por un ideal es similar a la definición de un grupo cociente . Más precisamente, el anillo cociente de un anillo por un ideal de dos lados es el conjunto de clases laterales de un grupo aditivo por un subgrupo aditivo con las siguientes operaciones: $R$ $yo$ $R$ $yo$

${\ estilo de visualización (a + yo) + (b + yo) = (a + b) + yo}$ ,
${\ estilo de visualización (a + I) (b + I) = (ab) + I}$ .

De manera similar al caso de los grupos, existe un homomorfismo canónico dado por . El núcleo es el ideal . $p: R \a R/I$ $x \mapsto x + yo$ $yo$

De manera similar al teorema del homomorfismo de grupos, existe un teorema del homomorfismo de anillos: entonces sea isomorfo a un anillo cociente con respecto al núcleo del homomorfismo [22] . ${\ estilo de visualización f: R \ a R',}$ $\mathrm{Im}f$ $\mathrm {Im} f\simeq R/\mathrm {Ker} f$

Algunas clases especiales de anillos

Un anillo con unidad , en el que todos los elementos distintos de cero son invertibles, se denomina anillo [23] . $1\neq 0$
Un cuerpo conmutativo se llama campo [24] ; en otras palabras, el campo es un anillo conmutativo con identidad que no tiene ideales no triviales [8] [25] .
Un anillo conmutativo sin divisores de cero se denomina dominio de integridad (o anillo integral) [26] . Cualquier campo es un área de integridad, pero lo contrario no es cierto [27] .
Un anillo integral que no es un campo se llama euclidiano si se da una norma en el anillo tal que: $R$ ${\displaystyle N\dos puntos R\a Z_{+))$
1. para cualquier distinto de cero es cierto que ; $a, b \ en R$ ${\ Displaystyle N (a) \ leq N (ab)}$
2. para cualquier distinto de cero existe tal que y o
[26] . $a, b \ en R$ $q,r \en R$ $a = qb + r$ $r=0$ $N( r ) < N(b)$
Un anillo integral en el que todo ideal es principal se llama anillo de ideales principales ; todo anillo euclidiano y todo campo son anillos ideales principales [12] .
Un anillo cuyos elementos son números y cuyas operaciones son sumas y multiplicaciones de números se llama anillo de números , por ejemplo, el conjunto de números pares es un anillo de números, pero ningún sistema de números negativos será un anillo, ya que su producto es positivo. [28] .

Ejemplos

$\{0\}$ es un anillo trivial que consta de un cero. Este es el único anillo en el que el cero es uno multiplicativo [5] . Es útil considerar este ejemplo trivial como un anillo desde el punto de vista de la teoría de categorías , ya que en este caso surge un objeto terminal en las categorías de anillos .
$\matemáticas {Z}$ - números enteros (con las sumas y multiplicaciones habituales). Este es el ejemplo más importante de un anillo, ya que cualquier anillo puede verse como un álgebra sobre . También es el objeto inicial en la categoría Anillo de anillos unitarios. [29] [30] $\matemáticas {Z}$
$\mathbb {Z} _{n}$ es un anillo de residuo finito módulo un número natural n . Estos son ejemplos clásicos de anillos de la teoría de números. Un anillo residual es un campo si y solo si n es primo . [31] Los campos correspondientes son el punto de partida para construir la teoría de los campos finitos . Los anillos residuales también son importantes en el estudio de la estructura de grupos abelianos finitamente generados , y también se pueden utilizar para construir números p -ádicos .
$\matemáticas {Q}$ es el anillo de los números racionales , que es un campo. Este es el campo más simple de la característica 0. Es el principal objeto de estudio en teoría de números. Completándolo de acuerdo con varias normas no equivalentes, se obtienen campos de números reales y números p -ádicos donde p es un número primo arbitrario [32] . $\matemáticas {R}$ $\Q_p,$
Para un anillo conmutativo arbitrario , se puede construir un anillo polinómico en n variables con coeficientes en [11] En particular, un anillo polinómico con coeficientes enteros es un anillo polinómico universal, en el sentido de que todos los anillos polinómicos se expresan en términos de un tensor producto : $R$ $R[x_1,x_2,\puntos,x_n]$ $r$ $R[x][y]=R[x,y].$ $R[x_1,\dots,x_n] = R \otimes \left(\Z[x_1,\dots,x_n]\right).$
El anillo de subconjuntos de un conjunto es un anillo cuyos elementos son subconjuntos en . La operación de suma es una diferencia simétrica , y la multiplicación es la intersección de conjuntos : $X$ $X$

A + B = A \Delta B = (A\setminus B ) \cup (B \setminus A),

A \cdot B = A \cap B.

Los axiomas de los anillos se verifican fácilmente. El elemento cero es un conjunto vacío, la unidad lo es todo.Todos los elementos del anillo son idempotentes, es decir, Cualquier elemento es su inverso además: El anillo de subconjuntos es importante en la teoría de las álgebras booleanas y la teoría de la medida , en particular. en la construcción de la teoría de la probabilidad [5] .

X.

A\cdot A = A.

A+A=0.

Construcciones

Producto directo

El producto de anillos y puede equiparse con la estructura de anillo natural: para cualquier , : $R\veces S$ $R$ $S$ $r_1,r_2\en R$ ${\ estilo de visualización s_ {1}, s_ {2} \ en S}$

$(r_1,s_1)+(r_2,s_2)=(r_1+r_2,s_1+s_2),$
$(r_1,s_1)\cdot (r_2,s_2)=(r_1r_2,s_1s_2).$

Existe una construcción similar para el producto de una familia arbitraria de anillos (la suma y la multiplicación se dan por componentes) [33] .

Sea un anillo conmutativo y sean pares de ideales coprimos en él (los ideales se llaman coprimos si su suma es igual a todo el anillo). El teorema chino del resto establece que una aplicación: $R$ $\mathfrak{a}_1, \cdots, \mathfrak{a}_n$

R \to R/ \mathfrak{a}_1 \times \cdots \times R/ \mathfrak{a}_n, \quad x \mapsto (x + \mathfrak{a}_1, \ldots , x + \mathfrak{a }_norte)

es sobreyectiva, y su núcleo es ( producto de ideales , intersección de ideales ) [18] . $\prod \mathfrak{a}_i = \cap \mathfrak{a}_i$

Anillo de endomorfismos

El conjunto de endomorfismos de un grupo abeliano forma un anillo, denotado por . La suma de dos endomorfismos se define por componentes: , y el producto se define como una composición: . Si es un grupo no abeliano, entonces , en términos generales, no es igual a , mientras que la suma en un anillo debe ser conmutativa [34] . ${\ estilo de visualización (A, +)}$ $\operatorname {Fin} (A)$ $(f+g)(x)=f(x)+g(x)$ $(fg)(x)=f(g(x))$ ${\ estilo de visualización (A, +)}$ $f + g$ $g+f$

Campo de soldados y anillo de soldados

Para un anillo integral , hay una construcción que permite construir el campo más pequeño que lo contiene. El campo de anillos parciales es el conjunto de clases de equivalencia de fracciones formales según la siguiente relación de equivalencia : $R$ $R$ $p/q,\; p, q \ en R$

{p_1 \sobre q_1}\sim {p_2 \sobre q_2}

si y solo si

{p_1q_2}={p_2q_1},

con operaciones normales: ${a \over b}+{c \over d}={ad+bc \over bd},\quad {a \over b}\cdot {c \over d}={ac \over bd}.$

No es del todo obvio que la relación dada sea realmente una relación de equivalencia: para la prueba uno tiene que usar la integridad del anillo. Hay una generalización de esta construcción a anillos conmutativos arbitrarios. Es decir, un sistema multiplicativamente cerrado en un anillo conmutativo (es decir, un subconjunto que contiene uno y no contiene cero; el producto de dos elementos cualquiera del subconjunto nuevamente le pertenece). Entonces el anillo de cocientes es el conjunto de clases de equivalencia de fracciones formales con respecto a la relación de equivalencia: $S$ $R$ $S^{-1}R$ $r/s,\; r\en R, s\en S$

{r_1 \sobre s_1}\sim {r_2 \sobre s_2}

si y solo si existe tal que

s'\in S

s'({r_{1}s_{2}-r_{2}s_{1)))=0.

Esta construcción también se llama localización del anillo (porque en geometría algebraica permite estudiar las propiedades locales de la variedad en su punto individual). Ejemplo: anillo de decimales - localización del anillo de números enteros según el sistema multiplicativo $S=\{10^n|n\geqslant 0\}.$

Hay un mapeo natural. Su núcleo consiste en tales elementos para los cuales existe tal que . En particular, para un anillo integral este mapa es inyectivo [35] [36] . $R \to S^{-1}R, \, r \mapsto r / 1.$ $r$ $S \ en S$ $r = 0$

Descripción categórica

Los anillos junto con los homomorfismos de anillos forman una categoría , generalmente denotada (a veces la categoría de anillos con unidad se denota de esta manera, y la categoría de anillos ordinarios se denota por ). La categoría de anillos unitarios tiene muchas propiedades útiles: en particular, es completa y cocompleta . Esto significa que todos los límites y colímites pequeños existen en él (por ejemplo, productos , coproductos , granos y conúcleos ). La categoría de anillos con unidad tiene un objeto inicial (anillo ) y un objeto terminal (anillo cero). $\mathbf {Anillo}$ ${\mathbf {Rng}}$ $\matemáticas {Z}$

Se puede dar la siguiente definición categórica de un anillo: un anillo asociativo con una unidad es un monoide en la categoría de grupos abelianos (los grupos abelianos forman una categoría monoide con respecto a la operación de producto tensorial ). La acción de un anillo R sobre un grupo abeliano ( un anillo tratado como un monoide por multiplicación) convierte un grupo abeliano en un módulo R. El concepto de módulo generaliza el concepto de espacio vectorial : en términos generales, un módulo es "un espacio vectorial sobre un anillo". [29] [30]

Clases especiales de anillos

Generalizaciones: anillo no asociativo , semianillo , anillo cercano .

Estructuras sobre anillos

Notas

↑ Vinberg, 2011 , pág. 17-19.
↑ Belsky A., Sadovsky L. Anillos // Kvant . - 1974. - Nº 2 .
↑ Eric Reck. Contribuciones de Dedekind a los fundamentos de las matemáticas // La Enciclopedia de Filosofía de Stanford / Edward N. Zalta. — 2012-01-01. Archivado desde el original el 2 de diciembre de 2013.
↑ Atiyah, Macdonald, 1972 , pág. 9.
↑ 1 2 3 4 Vinberg, 2011 , pág. 18-19.
↑ Kurosh, 1968 , pág. 273-275.
↑ 1 2 Van der Waerden, 1975 , pág. 51-53.
↑ 1 2 Atiyah, Macdonald, 1972 , pág. once.
↑ Van der Waerden, 1975 , pág. 359.
↑ Vinberg, 2011 , pág. 407.
↑ 1 2 3 Kulikov, 1979 , pág. 110-111.
↑ 1 2 Vinberg, 2011 , pág. 21
↑ Kulikov, 1979 , pág. 437.
↑ Van der Waerden, 1975 , pág. 64.
↑ 1 2 Feis, 1977 , p. 153.
↑ Kulikov, 1979 , pág. 430-431.
↑ Vinberg, 2011 , pág. 406.
↑ 1 2 Feis, 1979 , p. diez.
↑ Vinberg, 2011 , pág. 388.
↑ Kulikov, 1979 , pág. 107-108.
↑ Kulikov, 1979 , pág. 432.
↑ Vinberg, 2011 , pág. 387-390.
↑ Vinberg, 2011 , pág. 523.
↑ Rostro, 1977 , p. 152.
↑ Kulikov, 1979 , pág. 430.
↑ 1 2 Vinberg, 2011 , pág. 118.
↑ Atiyah, MacDonald, 1972 .
↑ Kurosh, 1968 , pág. 266.
↑ 1 2 Rostro, 1977 .
↑ 1 2 Rostro, 1979 .
↑ Vinberg, 2011 , pág. 28-34.
↑ Van der Waerden, 1975 , pág. 509-512.
↑ Van der Waerden, 1975 , pág. 33.
↑ Van der Waerden, 1975 , pág. 173.
↑ Van der Waerden, 1975 , pág. 450-452.
↑ Kurosh, 1968 , pág. 305-311.

Literatura

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Glazer G. I. Historia de las matemáticas en la escuela: grado IX-X. Guía del profesor - Nueva edición, revisada. y adicional .. - M. : Educación, 1983. - 351 p.
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diccionarios y enciclopedias

En catálogos bibliográficos
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