Par de espacios topológicos

Un par de espacios topológicos es un par ordenado donde es un espacio topológico y es un subespacio (con la topología del subespacio ). ${\ estilo de visualización (X, A)}$ $X$ $A$

Un mapeo de pares se define como un mapeo tal que . $f\dos puntos (X,A)\a (Y,B)$ $f\dos puntos X\a Y$ ${\ estilo de visualización f (A) \ subconjunto B}$

El concepto de par topológico es conveniente para definir homologías relativas , para lo cual se requiere precisamente que se incrusten en . Para buenos espacios (por ejemplo, si es un subcomplejo celular de un complejo celular [1] ), la igualdad $H_{k}(X,Y)$ $Y$ $X$ $Y$ $X$ $H_{k}(X,Y)\simeq {\overline {H))(X/Y)=H(X/Y,\varnada).$

Propiedades

Hay un funtor de espacio a par que asigna un espacio a un par , $X$ $(X,\varnada)$

Homologaciones relativas

Dado un par de espacios topológicos , entonces para cualquier teoría de homología se puede considerar el grupo de cadenas relativas . Luego, la homología del complejo de cadena resultante se denota y se denomina homología del par . $(X, Y)$ $C_{k}(X)/C_{k}(Y)$ $H_{k}(X,Y)$

El concepto de homología relativa nos permite construir la llamada secuencia exacta larga del par :

… ⟵ H k − una ( Y ) ⟵ ∂ ∗ H k ( X , Y ) ⟵ H k ( X ) ⟵ H k ( Y ) ⟵ ∂ ∗ H k + una ( X , Y ) ⟵ … {\displaystyle \ldots \longleftarrow H_{k-1}(Y){\stackrel {\parcial _{\ast}}{\longleftarrow }}H_{k}(X,Y)\longleftarrow H_{k}(X )\longleftarrow H_{k}(Y){\stackrel {\parcial_{\ast}}{\longleftarrow}}H_{k+1}(X,Y)\longleftarrow \ldots}

\ldots \longleftarrow H_{k-1}(Y){\stackrel {\parcial _{\ast}}{\longleftarrow }}H_{k}(X,Y)\longleftarrow H_{k}(X )\longleftarrow H_{k}(Y){\stackrel {\parcial_{\ast}}{\longleftarrow}}H_{k+1}(X,Y)\longleftarrow \ldots

Variaciones y generalizaciones

Un concepto relacionado es el concepto de un triple , donde . Los triples se utilizan en la teoría de la homotopía . A menudo, para espacios con un punto marcado , el triple se escribe como , donde [2] . ${\ estilo de visualización (X, A, B)}$ $B\subconjunto A\subconjunto X$ $x_{0}$ ${\ estilo de visualización (X, A, B, x_ {0})}$ $x_{0}\in B\subconjunto A\subconjunto X$

Notas

↑ Kazaryan, 2006 , pág. 20-23.
↑ Topología algebraica . — Prensa de la Universidad de Cambridge . - ISBN 0-521-79540-0 .

Literatura

Spanier E. Topología algebraica. — 1971.
YO. Kazariano. Una introducción a la teoría de la homología . - MIAN, 2006. - (Cursos de lectura REC). — ISBN 5-98419-013-3 .