Homotopía

La homotopía es una familia de mapeos continuos que dependen continuamente de un parámetro, más precisamente, un mapeo continuo . $F_{t}\dos puntos X\a Y,\;t\en [0,1]$ $F\dos puntos [0,1]\veces X\a Y$

Definiciones relacionadas

Las asignaciones se denominan homotópicas ( ) si existe una homotopía tal que y . $f,g\dos puntos X\a Y$ $g \ sim f$ $pie$ $f_0=f$ $f_1=g$
- Esto define una relación de equivalencia entre mapeos continuos . $X\a Y$

Equivalencia de homotopía de espacios topológicos y es un par de aplicaciones continuas y tal que y , aquí denota la homotopía de aplicaciones. En este caso, también se dice que c tiene un tipo de homotopía . $X$ $Y$ $f\dos puntos X\a Y$ $g\colon Y\a X$ $f\circ g\sim\operatorname {id}_{Y}$ $g\circ f\sim\nombre del operador {id}_{X}$ $\sim$ $X$ $Y$
- Si y son
homeomorfos ( ), entonces son homotópicamente equivalentes; lo contrario no es cierto en general. $X$ $Y$ ${\ estilo de visualización X \ simeq Y}$
Un invariante de homotopía es una característica de un espacio que se conserva bajo la equivalencia de homotopía de espacios topológicos; es decir, si dos espacios son homotópicamente equivalentes, entonces tienen la misma característica. Por ejemplo: conectividad , grupo fundamental , característica de Euler .

Si en algún subconjunto para todo con , entonces se llama homotopía con respecto a y homotópica con respecto a . $A\subconjunto X,\;F(t,a)=f(a)$ $t$ $a \ en A$ $F$ $A$ $F$ $gramo$ $A$

Una aplicación que es homotópica a una constante, es decir, una aplicación a un punto, se llama contráctil u homotópica a cero .

Variaciones y generalizaciones

Una isotopía es una homotopía de un espacio topológico con respecto a un espacio topológico en el que, para cualquiera, la aplicación es un homeomorfismo sobre . $X$ $Y$ $f_{t}\dos puntos X\a Y,\;t\en [0,1]$ $t$ $pie$ $X$ $f_{t}(X)\subconjunto Y$

Un mapeo se denomina equivalencia de homotopía débil si induce un isomorfismo de grupos de homotopía . Un subespacio de un espacio topológico tal que la inclusión es una equivalencia de homotopía débil se denomina subespacio representativo . $f\dos puntos X\a Y$ $A$ $X$ $A\subconjunto X$

Si y hay paquetes arbitrarios sobre , entonces la homotopía se llama fibrosa si los morfismos son homotópicos fibrosos, si existe una homotopía fibrosa para la cual las igualdades y el morfismo son equivalencias homotópicas fibrosas, si existe un morfismo tal que y son homotópicos fibrosos Paquetes y pertenecen al mismo tipo de homotopía fibrosa si hay al menos una equivalencia en capas ${\ estilo de visualización \ varphi: E \ a X}$ ${\ estilo de visualización \ varphi ': E' \ a X}$ $X,$ $f_{t}:E\to E'$ ${\ estilo de visualización \ varphi 'f_{t}=\ varphi.}$ ${\ estilo de visualización f, g: E \ a E'}$ $f_{t}:E\to E',$ $f_{0}=f$ $f_{1}=g.$ ${\ estilo de visualización f: E \ a E'}$ $g:E'\to E$ ${\ estilo de visualización gf}$ $fg$ $\mathrm {Id} .$ $mi$ $MI'$ ${\ estilo de visualización f: E \ a E'.}$

Véase también

Literatura

Vasiliev V. A. Introducción a la topología. - M. : FAZIS, 1997. - 132 p. — ISBN 5-7036-0036-7 .
Rokhlin V. A., Fuchs D. B. Curso inicial de topología. Cabezas geométricas. — M .: Nauka, 1977
Spanier E. Topología algebraica. — M .: Mir, 1971