La paradoja de Klein en el grafeno

La paradoja de Klein en el grafeno es el paso de cualquier barrera potencial sin retrodispersión en ángulo recto. El efecto se debe a que el espectro de portadores de corriente en el grafeno es lineal y las cuasipartículas obedecen a la ecuación de Dirac para el grafeno. El efecto se predijo teóricamente en 2006 [1] para una barrera rectangular.

Teoría

Las cuasipartículas en grafeno se describen mediante un hamiltoniano bidimensional para partículas de Dirac sin masa

{\sombrero {H}}=-i\hbar v_{F}\sigma \cdot \nabla ,

donde es la constante de Planck dividida por 2 π, es la velocidad de Fermi, es el vector que queda de las matrices de Pauli , es el operador nabla . Sea una barrera de potencial con altura y anchura , y sea la energía de las partículas incidentes . Entonces, de la solución de la ecuación de Dirac para las regiones a la izquierda de la barrera (índice I), en la propia barrera (II) y a la derecha de la barrera (III), se escribirán en forma de plano ondas como para partículas libres : $\hbar$ $v_{F}$ $\sigma =(\sigma _{x}, \sigma _{y})$ $\nabla =(\nabla _{x},\nabla _{y})$ $V_{0}$ $D$ $mi$

\psi _{I}({\mathbf {r}})={\frac {1}{{\sqrt {2}}}}{\begin{pmatrix}1\\se^{{i\phi }} \end{pmatrix}}e^{{i(k_{x}x+k_{y}y)}}+{\frac {r}{{\sqrt {2}}}}{\begin{pmatrix}1 \\se^{{i(\pi -\phi )}}\end{pmatrix}}e^{{i(-k_{x}x+k_{y}y)}},

\psi _{{II}}({\mathbf {r}})={\frac {a}{{\sqrt {2}}}}{\begin{pmatrix}1\\s'e^{{i \theta }}\end{pmatrix}}e^{{i(q_{x}x+k_{y}y)}}+{\frac {b}{{\sqrt {2}}}}{\begin {pmatriz}1\\s'e^{{i(\pi -\theta )}}\end{pmatriz}}e^{{i(-q_{x}x+k_{y}y)}},

\psi _{{III}}({\mathbf {r}})={\frac {t}{{\sqrt {2}}}}{\begin{pmatrix}1\\se^{{i\phi }}\end{pmatriz}}e^{{i(k_{x}x+k_{y}y)}},

donde se aceptan las siguientes designaciones para los ángulos , y vectores de onda en las regiones I-ésima y III-ésima , y en la región II-ésima bajo la barrera , signos de las siguientes expresiones y . Los coeficientes desconocidos , las amplitudes de las ondas reflejadas y transmitidas, respectivamente, se encuentran a partir de la continuidad de la función de onda en los límites potenciales. $\phi =\arctan {(k_{y}/k_{x})}$ $\theta =\arctan {(k_{y}/q_{x})}$ $k_{x}=k_{F}\cos {\fi}$ $k_{y}=k_{F}\sin {\fi}$ $q_{x}={\sqrt {(V_{0}-E)^{2}/\hbar ^{2}v_{F}^{2}-k_{y}^{2}}}$ $s={\mathrm {signo}}(E)$ $s'={\mathrm {signo}}(E-V_{0})$ $r$ $t$

Para el coeficiente de transmisión en función del ángulo de incidencia de la partícula se obtuvo la siguiente expresión [2]

T(\phi )={\frac {\cos ^{2}{\theta }\cos ^{2}{\phi }}{[\cos {(Dq_{x})}\cos {\phi }\ cos {\ theta }]^{2}+\sin ^{2}{(Dq_{x})[1-ss^{{'}}\sin {\phi }\sin {\theta }]^{2 }}}}.

La figura de la derecha muestra cómo cambia el coeficiente de transmisión dependiendo del ancho de la barrera. Se muestra que la transparencia máxima de la barrera siempre se observa en ángulo cero, y las resonancias son posibles en algunos ángulos.

Notas

↑ Katsnelson MI , et. Alabama. "Tunelización quiral y la paradoja de Klein en el grafeno" Nature Physics 2 , 620 (2006) doi : 10.1038/nphys384 Preprint Archivado el 12 de julio de 2015 en Wayback Machine .
↑ Castro Neto AH cond-mat Archivado el 12 de julio de 2015 en Wayback Machine .