Cuarteto pitagórico

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Un cuádruple pitagórico es una tupla de números enteros tales que d > 0 y. El cuádruple pitagóricodefine un paralelepípedo rectangular con longitudes laterales | un |, | segundo | y | c | cuya diagonal tiene longitud d . Los cuádruples pitagóricos también se denominan bloques pitagóricos [1] . ${\ estilo de visualización (a, b, c, d)}$ ${\ estilo de visualización a^{2}+b^{2}+c^{2}=d^{2))$ ${\ estilo de visualización (a, b, c, d)}$

Parametrización de cuádruples primitivos

El conjunto de todos los cuadriplicados pitagóricos primitivos , es decir, aquellos para los que mcd ( a , b , c ) = 1, tiene una parametrización [2] [3] [4]

a=m^{2}+n^{2}-p^{2}-q^{2},

{\ estilo de visualización b = 2 (mq + np),}

c=2(nq-mp),

d=m^{2}+n^{2}+p^{2}+q^{2},

donde m , n , p , q son enteros naturales , mcd( m , n , p , q ) = 1 y m + n + p + q ≡ 1 (mod 2). Por lo tanto, todos los cuádruples pitagóricos primitivos están descritos por la identidad de Lebesgue [5]

(m^{2}+n^{2}+p^{2}+q^{2})^{2}=(2mq+2np)^{2}+(2nq-2mp)^{ 2}+(m^{2}+n^{2}-p^{2}-q^{2})^{2}.

Parametrización alternativa

Todos los cuádruples pitagóricos (incluidos los no primitivos y los repetidos) se pueden obtener a partir de dos números naturales a y b de la siguiente manera:

Si y tienen diferente paridad, tome cualquier factor p del número tal que . Entonces notamos que $a$ $b$ ${\ estilo de visualización a^{2}+b^{2}}$ ${\displaystyle p^{2}<a^{2}+b^{2))$ $c=(a^{2}+b^{2}-p^{2})/(2p)$ $d=(a^{2}+b^{2}+p^{2})/(2p).$ $p={cc}.$

Existe un método similar [6] para números pares con la restricción adicional de que debe ser un divisor par del número No existe tal método para el caso en que ambos números a y b son impares. $a, b$ ${\ estilo de visualización 2p}$ ${\ estilo de visualización a^{2}+b^{2}.}$

Propiedades

El número más grande que siempre divide el producto abcd es 12 [7] . El cuatro con el producto mínimo es (1, 2, 2, 3).

Relación con cuaterniones y matrices ortogonales racionales

El cuádruple pitagórico primitivo , parametrizado con , corresponde a la primera columna de la representación matricial de la conjugación con la ayuda del cuaternión de Hurwitz , estrechado al subespacio atravesado por ${\ estilo de visualización (a, b, c, d)}$ ${\ estilo de visualización (m, n, p, q)}$ ${\ estilo de visualización E (\ alfa)}$ $\alpha (\cdot){\overline {\alpha}}$ ${\ estilo de visualización \ alfa = m + ni + pj + qk}$ ${\ matemáticas {H}}$ ${\ estilo de visualización i, j, k}$

E(\alpha )={\begin{pmatrix}m^{2}+n^{2}-p^{2}-q^{2}&2np-2mq&2mp+2nq\\2mq+2np&m^{ 2}-n^{2}+p^{2}-q^{2}&2pq-2mn\\2nq-2mp&2mn+2pq&m^{2}-n^{2}-p^{2}+q^{ 2}\\\end{matrix}},

donde las columnas son ortogonales por pares y cada una tiene norma d . Además, , y, de hecho, todas las matrices ortogonales de 3 × 3 con coeficientes racionales aparecen de esta forma [8] . ${\frac {1}{d}}E(\alpha )$ $\in {\text{SO}}(3,\mathbb {Q} )$

Pitágoras se cuadruplica con norma pequeña

(1,2,2,3), (2,3,6,7), (1,4,8,9), (4,4,7,9), (2,6,9,11), (6,6,7,11), (3,4,12,13), (2,5,14,15), (2, 10, 11, 15), (1,12,12,17), (8,9,12,17), (1,6,18,19), (6,6,17,19), (6,10,15,19), (4,5,20,21), (4,8,19,21), (4,13,16,21), (8,11,16,21), (3,6,22,23), (3,14,18,23), (6,13,18,23), (9, 12, 20, 25), (12, 15, 16, 25), (2,7,26,27), (2,10,25,27), (2,14,23,27), (7,14,22,27), (10,10,23,27), (3,16,24,29), (11,12,24,29), (12,16,21,29)

Véase también

terna pitagórica
teorema de De Gua
Cuaterniones y rotación espacial
Fórmula de Euler-Rodríguez para la rotación en el espacio tridimensional
conjetura de euler
la hipótesis de beal
Ecuación de Jacobi-Madden
El problema de Pruhet-Tarry-Escott
Número de taxis
problema de los cuatro cubos

Notas

↑ RA Beauregard, ER Suryanarayan. Cajas pitagóricas // Matemáticas. Revista. - 2001. - T. 74 . - S. 222-227 .
↑ RD Carmichael. Análisis diofántico. - Nueva York: John Wiley & Sons, 1915. - V. 16. - (MONOGRAFÍAS MATEMÁTICAS).
↑ L.E. Dickson, Algunas relaciones entre la teoría de los números y otras ramas de las matemáticas , en Villat (Henri), ed., Conférence générale, Comptes rendus du Congrès international des mathématiciens, Estrasburgo, Toulouse, 1921, pp. 41-56; reimpresión Nendeln/Liechtenstein: Kraus Reprint Limited, 1967; Obras completas 2, págs. 579-594.
↑ R. Spira. La ecuación diofántica ${\ estilo de visualización x^{2}+y^{2}+z^{2}=m^{2}}$ // Amer. Matemáticas. Mensual. - 1962. - T. 69 . - S. 360-365 .
↑ Identidad de Lebesgue . Consultado el 23 de enero de 2022. Archivado desde el original el 23 de enero de 2022. (indefinido)
↑ V. Serpinski . Triángulos pitagóricos . - M. : Uchpedgiz, 1959. - S. 68 .
↑ Des MacHale, Christian van den Bosch. Generalizando un resultado sobre ternas pitagóricas // Gaceta Matemática. - Marzo 2012. - T. 96 . - S. 91-96 .
↑ J. Cremona. Carta al Editor // Amer. Matemáticas. Mensual. - 1987. - T. 94 . - S. 757-758 .

Enlaces

Weisstein, Eric W. Pythagorean Quadruple (inglés) en el sitio web Wolfram MathWorld .
Weisstein, Eric W. Lebesgue's Identity (inglés) en el sitio web Wolfram MathWorld .
Análisis diofántico en el Proyecto Gutenberg .
La parametrización completa derivada usando un Álgebra de Clifford Minkowskiana