Densidad de secuencia

La densidad de secuencia es el concepto de la teoría general de números aditivos , que estudia las leyes de la suma de secuencias enteras de una forma general. La densidad de una secuencia es una medida de cuánto de la secuencia de todos los números naturales pertenece a una secuencia dada de enteros no negativos . El concepto de densidad de secuencia se refiere a la densidad introducida en 1930 por Schnirelmann (de ahí el nombre en inglés del término - densidad de Schnirelmann) de la secuencia A, a saber: $A=\{a_{i}\}$ $0=a_{0}<a_{1}<a_{2}<\puntos$ ${\ estilo de visualización d (A)}$

d(A)=\inf _{n\in \mathbb {Z} _{+))(\pi _{A}(n)-1)/n

donde el número de miembros de la secuencia no excede . ${\ estilo de visualización \ pi _ {A} (n)}$ $A$ $norte$

Definiciones relacionadas

Sea la suma aritmética de las sucesiones y , es decir, el conjunto . $A+B$ $A=\{a_{i}\}$ $B=\{b_{i}\}$ ${\displaystyle A+B=\{c\in \mathbb {Z} _{+}|c=a+b,a\in A,b\in B\))$

Si creen , igualmente , etc. $A=B$ ${\ estilo de visualización 2A = A + A}$ ${\ estilo de visualización 3A = 2A + A}$

Si , entonces se llama una base de orden th . ${\displaystyle nA=\mathbb {Z} _{+))$ $A$ $norte$

Propiedades

Densidad si y solo si coincide con el conjunto de todos los enteros no negativos. ${\ estilo de visualización d (A) = 1}$ $A$ $\Z_+$
Desigualdad de Shnirelman

d(A+B)\geq d(A)+d(B)-d(A)d(B)

Desigualdad de Mann-Dyson

{\displaystyle d(A+B)\geq \min\{d(A)+d(B),1\))

De la desigualdad de Shnirelman se sigue que cualquier secuencia de densidad positiva es una base de orden finito. La aplicación de este hecho a los problemas aditivos, en los que a menudo se suman secuencias de densidad cero, se lleva a cabo mediante la construcción previa de nuevas secuencias con densidad positiva a partir de secuencias dadas. Por ejemplo, con la ayuda de métodos de tamiz , se demuestra que la secuencia , donde pasa por los números primos , tiene una densidad positiva. Esto implica el teorema de Shnirelman : existe un número entero tal que cualquier número natural es la suma de, como máximo , números primos. Este teorema da solución al llamado. Problema de Goldbach debilitado . $\{p\}+\{p\}$ $pags$ $c_{0}>0$ $c_{0}$

Variaciones y generalizaciones

Una variación del concepto de densidad de secuencia es el concepto de densidad asintótica , cuyo caso especial es la densidad natural .

El concepto de densidad de secuencia se generaliza a secuencias numéricas distintas de las series naturales, por ejemplo, a secuencias de números enteros en campos numéricos algebraicos. Como resultado, es posible estudiar bases en campos algebraicos.