Orden de magnitud

La versión actual de la página aún no ha sido revisada por colaboradores experimentados y puede diferir significativamente de la versión revisada el 18 de junio de 2020; las comprobaciones requieren 7 ediciones .

Un orden de magnitud es una clase de equivalencia de cantidades (o escalas) que expresan ciertas cantidades, dentro de las cuales todas las cantidades tienen una relación fija con las cantidades correspondientes de la clase anterior. ${\mathcal {C}}_{n}$ ${\mathcal {C}}_{n}=\lbrace {}x_{n}\rbrace$ $r={\frac{x_{n}}{x_{{n-1}}}}$

Más a menudo, el orden no significa la clase de equivalencia en sí, sino algunas de sus características numéricas que definen esta clase bajo condiciones dadas (por ejemplo, el número ordinal de la clase , siempre que se haya especificado o implícito alguna clase). ${\mathcal {C}}_{n}$ $norte$ ${\mathcal {C}}_{0}$

Orden numérico

Cuando se trabaja con números representados en un determinado sistema numérico basado en , la mayoría de las veces se toman y , . Al mismo tiempo, coincide con el número de dígitos de un número, si está escrito en un sistema de numeración posicional . $b$ $r=b$ $1\in {\mathcal {C}}_{1}$ $b\in {\mathcal {C}}_{2}$ $norte$

Por ejemplo, para el sistema numérico decimal en este caso, cada década de números positivos pertenecerá a un solo orden:

${\mathcal {C}}_{1}\supset \lbrace {}1,2,3,4,5,6,7,8,9\rbrace$
${\mathcal {C}}_{2}\supset \lbrace {}10,20,30,40,50,60,70,80,90\rbrace$
${\mathcal {C}}_{3}\supset \lbrace {}100,200,300,400,500,600,700,800,900\rbrace$

De manera similar, puede determinar el orden de los números para otras bases del sistema numérico. más a menudo considerado

órdenes básicos de números , $b=10$
órdenes base $b=2$
órdenes básicos de números . $b=e$

Orden numérico en lenguaje natural

En los lenguajes naturales existen expresiones como “un orden de magnitud más”, “muchos órdenes de magnitud más”, “un par de órdenes de magnitud menos”. En la mayoría de los casos, los exponentes decimales están implícitos, es decir, estas expresiones se pueden leer como “unas diez veces más”, “ una vez más, donde es suficientemente grande”, “unas 100 veces menos”. Asimismo, recientemente se ha generalizado el uso erróneo de la expresión "del orden de N", donde N es un número determinado. Al mismo tiempo, según el contexto, está claro que se quiere decir "sobre N", lo que, por supuesto, no corresponde a la definición del término "orden de número". $10^{n}$ $norte$

Orden numérico y función logarítmica

Los números correspondientes pertenecientes a órdenes adyacentes se pueden escribir como , donde es el primero de los números. Esta propiedad determina la conexión entre el concepto de orden de un número y la función exponencial y logarítmica inversa . ${\mathcal {C}}_{{n}},{\mathcal {C}}_{{n+1}},{\mathcal {C}}_{{n+2}},\ldots,{ \mathcal {C}}_{{n+d}}$ $x,rx,r^{2}x,\ldots,r^{d}x$ $x\in {\mathcal {C}}_{n}}$

En particular, utilizando el concepto de función logarítmica, se puede formular una condición necesaria para que los números pertenezcan al mismo orden: Que se dé alguna partición en órdenes sobre el conjunto de números positivos. Si dos números son del mismo orden, entonces . $\left|\log _{r}{\frac {x_{1}}{x_{2}}}\right|<1$

Prueba

Efectivamente, sean los números y sean el número mínimo y máximo pertenecientes a la orden . Si el número también pertenece a la orden , entonces su valor debe cumplir la condición . A su vez, los números y pertenecen a órdenes adyacentes a la orden y , respectivamente. De esto se sigue que para cualquier número en este orden, la relación se cumple . $m\in {\mathcal {C}}_{n}$ $M\in {\mathcal {C}}_{n}$ ${\mathcal {C}}_{n}$ $x\in {\mathcal {C}}_{n}$ ${\mathcal {C}}_{n}$ $m\leq x\leq M$ $rm$ ${\ fracción {1}{r}} M$ ${\mathcal {C}}_{n}$ ${\mathcal {C}}_{{n+1}}$ ${\mathcal {C}}_{{n-1}}$ $X$ ${\frac{1}{r}}M<m\leq x\leq M<rm$

Sean dos números y pertenezcan al orden dado . entonces _ $x_{1}$ $x_{2}$ ${\mathcal {C}}_{n}$ $-1=\log _{r}{\frac {m}{rm}}<\log _{r}{\frac {x_{1}}{x_{2}}}<\log _{r}{ \frac{M}{{\frac{1}{r}}M}}=1$

Diferencia de orden

Si dos números y pertenecen a los órdenes y en alguna división de números positivos en órdenes, entonces el valor a veces se llama la diferencia en los órdenes de estos números. $x_{1}$ $x_{2}$ $x_{1}\in {\mathcal {C}}_{{n_{1}}}$ $x_{2}\in {\mathcal {C}}_{{n_{2}}}$ $d=d(x_{1},x_{2})=n_{2}-n_{1}$

Para dos números y la diferencia de sus órdenes se puede encontrar como para . $x_{1}$ $x_{2}$ $d=\izquierda\lpiso \log _{r}{\frac {x_{2}}{x_{1}}}\derecha\rpiso$ $x_{2}\geq x_{1}$

Prueba

Elegimos un número perteneciente al pedido y correspondiente a un número del pedido . Por la definición de orden, existe un número entero tal que . Obtenemos eso . $x_{2}^{{\mathord {*}}}\in {\mathcal {C}}_{{n_{1}}}$ ${\mathcal {C}}_{{n_{1}}}$ $x_{2}$ ${\mathcal {C}}_{{n_{2}}}$ $d$ $x_{2}^{{\mathord {*}}}=r^{{-d}}x_{2}$ $\log _{r}{\frac {x_{2}}{x_{1}}}=\log _{r}{\frac {r^{d}x_{2}^{{\mathord {*} }}}{x_{1}}}=d+\log _{r}{\frac {x_{2}^{{\mathord {*}}}}{x_{1}}}$

Los números y pertenecen al mismo orden y por lo tanto . Al mismo tiempo, el número es un número entero, lo que significa . $x_{1}$ $x_{2}^{{\mathord {*}}}$ $\log _{r}{\frac {x_{2}^{{\mathord {*}}}}{x_{1}}}<1$ $d$ $d=\left\lfloor {}d\right\rfloor =\left\lfloor {}d+\log _{r}{\frac {x_{2}^{{\mathord {*)))}{x_{1 ))}\derecha\rpiso =\izquierda\lpiso \log _{r}{\frac {x_{2}}{x_{1}}}\derecha\rpiso$

En el caso de diferencia de órdenes, en ocasiones se toman con signo negativo . $x_{2}\leq x_{1}$ $d(x_{1},x_{2})=-d(x_{2},x_{1})$

La igualdad de la diferencia de orden a cero es condición necesaria y suficiente para que los números pertenezcan al mismo orden.

Generalización de la diferencia de orden

En ocasiones se generaliza el concepto de diferencia de orden, eliminando el requisito de pertenecer a la clase de los números enteros y definiéndolo mediante la expresión . $d=\log _{r}{\frac{x_{2}}{x_{1}}}$

En esta interpretación, expresiones como “números y difieren en no más de medio orden de magnitud” adquieren significado, es decir, o . $x_{1}$ $x_{2}$ $\left|\log _{r}{\frac {x_{2}}{x_{1}}}\right|\leq {\frac {1}{2}}$ ${\frac{1}{{\sqrt {r}}}}x_{1}\leq x_{2}\leq {\sqrt {r}}x_{1}$

Véase también

Enlaces

Brians, Paus Órdenes de Magnitud . Consultado el 9 de mayo de 2013. Archivado desde el original el 22 de abril de 2017. (indefinido)
Orden de Magnitud . Wolframio mundo matemático . Consultado el 3 de enero de 2017. Archivado desde el original el 6 de enero de 2017. (indefinido)

diccionarios y enciclopedias	Gran catalán
En catálogos bibliográficos	TIERRA : 4388665-6