Notación

Sistemas numéricos en la cultura
indoárabe
árabe tamil birmano	Khmer Laosiano Mongol Tailandés
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Chino Japonés Suzhou Coreano	Palos vietnamitas para contar
Alfabético
Abjadia Armenio Aryabhata Cirílico Griego	Georgiano Etíope Judío Akshara Sankhya
Otro
Babilónico Egipcio Etrusco Romano Danubiano	Ático Kipu Maya Egeo KPPU Símbolos
posicional
2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 8 , 10 , 12 , 16 , 20 , 60
Nega-posicional
simétrico
sistemas mixtos
Fibonacci
no posicional
Singular (unario)

El sistema numérico ( sistema de numeración inglés o sistema de numeración ) es un método simbólico de escribir números , representando números usando caracteres escritos .

Notación:

da representaciones de un conjunto de números ( enteros y/o reales );
da a cada número una representación única (o al menos una representación estándar);
refleja la estructura algebraica y aritmética de los números.

Los sistemas numéricos se dividen en:

posicional ( ing. sistema posicional , notación de valor posicional );
no posicional;
mezclado.

Sistemas de numeración posicional

En los sistemas de numeración posicional, el mismo signo numérico ( dígito ) en la entrada de un número tiene diferentes significados según el lugar ( dígito ) donde se encuentre. La invención de la numeración posicional basada en el significado local de los dígitos se atribuye a los sumerios y babilonios ; tal numeración fue desarrollada por los hindúes y tuvo consecuencias inestimables en la historia de la civilización humana. Estos sistemas incluyen el sistema numérico decimal moderno , cuya aparición está asociada con contar con los dedos. En la Europa medieval, apareció a través de comerciantes italianos, quienes a su vez lo tomaron prestado de los árabes.

El sistema numérico posicional generalmente se entiende como el sistema numérico -ario, que se define por un número entero , llamado la base del sistema numérico. Un entero sin signo en el sistema numérico -ario se representa como una combinación lineal finita de potencias del número : $b$ $b>1$ $X$ $b$ $b$

x=\sum_k=0}^{n-1}a_{k}b^{k}

, donde son números enteros, llamados dígitos , que satisfacen la desigualdad .

Alaska}

0\leq a_{k}\leq (b-1)

Cada grado de dicho registro se denomina factor de ponderación de la categoría . La antigüedad de los dígitos y sus dígitos correspondientes está determinada por el valor del indicador (número de dígito). Por lo general, los ceros iniciales se omiten en números distintos de cero. $b^{k}$ $k$

Si no hay discrepancias (por ejemplo, cuando todos los dígitos se presentan en forma de caracteres escritos únicos), el número se escribe como una secuencia de sus dígitos -arios, enumerados en orden descendente de precedencia de dígitos de izquierda a derecha: $X$ $b$

x=a_{n-1}a_{n-2}\puntos a_{0}.

Por ejemplo, el número ciento tres se representa en el sistema numérico decimal como:

103=1\cdot 10^{2}+0\cdot 10^{1}+3\cdot 10^{0}.

Los sistemas posicionales más utilizados son:

2 - binario (en matemáticas discretas , informática , programación );
3 - ternario ;
8 - octal ;
10 - decimal (usado en todas partes);
12 - duodecimal (contando en docenas);
16 - hexadecimal (utilizado en programación , informática );
20 - vigesimal ;
60- Sexagesimal ( unidades de tiempo , medida de ángulos y, en particular, coordenadas, longitud y latitud ).

En los sistemas posicionales, cuanto mayor sea la base del sistema numérico , menos dígitos (es decir, dígitos para escribir ) se requieren al escribir un número.

Sistemas numéricos mixtos

El sistema numérico mixto es una generalización del sistema numérico -ario y también se refiere a menudo a los sistemas numéricos posicionales. La base del sistema numérico mixto es una secuencia creciente de números , y cada número en él se representa como una combinación lineal : $b$ $\{b_{k}\}_{k=0}^{\infty}$ $X$

x=\sum_k=0}^{n-1}a_{k}b_{k}

, donde se imponen algunas restricciones a los coeficientes , que, como antes, se denominan dígitos .

Alaska}}

Registrar un número en un sistema numérico mixto es la enumeración de sus dígitos en orden de índice decreciente , comenzando desde el primer distinto de cero. $X$ $k$

Dependiendo del tipo en función de los sistemas numéricos mixtos pueden ser potencias , exponenciales , etc. Cuando para algunos , el sistema numérico mixto coincide con el sistema numérico exponencial -ario. $b_{k}$ $k$ $b_{k}=b^{k}$ $b$ $b$

El ejemplo más famoso de un sistema numérico mixto es la representación del tiempo como un número de días, horas, minutos y segundos. En este caso, el valor de " días, horas, minutos, segundos" corresponde al valor de segundos. $d$ $h$ $metro$ $s$ $d\cdot 24\cdot 60\cdot 60+h\cdot 60\cdot 60+m\cdot 60+s$

Sistema numérico factorial

En el sistema numérico factorial , las bases son la secuencia de factoriales , y cada número natural se representa como: $b_{k}=k!$ $X$

x=\sum_k=1}^{n}d_{k}k!

, donde .

0\leq d_{k}\leq k

El sistema numérico factorial se usa al decodificar permutaciones con listas de inversiones : si tiene un número de permutación, puede reproducirlo usted mismo de la siguiente manera: el número de permutación (la numeración comienza desde cero) se escribe en el sistema numérico factorial, mientras que el coeficiente en el número indicará el número de inversiones para un elemento en ese conjunto, en el que se realizan las permutaciones (el número de elementos menor que , pero a la derecha de él en la permutación deseada). ${\ estilo de visualización yo!}$ ${\ estilo de visualización i+1}$ $yo+1$

Ejemplo: considere un conjunto de permutaciones de 5 elementos, ¡hay 5 en total! = 120 (desde la permutación con el número 0 - (1,2,3,4,5) hasta la permutación con el número 119 - (5,4,3,2,1)), encontramos la permutación con el número 100:

100=4!\cdot 4+3!\cdot 0+2!\cdot 2+1!\cdot 0=96+4;

let — el coeficiente del número , luego , , , luego: el número de elementos menor que 5, pero de pie a la derecha es 4; el número de elementos menos de 4 pero a la derecha es 0; el número de elementos menos de 3 pero a la derecha es 2; el número de elementos es menor que 2, pero a la derecha es 0 (el último elemento de la permutación se "pone" en el único lugar restante); por lo tanto, la permutación con el número 100 se verá así: (5,3,1, 2,4) La comprobación de este método se puede realizar contando directamente las inversiones de cada elemento de permutación. $t_{yo}$ ${\ estilo de visualización yo!}$ ${\ estilo de visualización t_ {4} = 4}$ ${\ estilo de visualización t_ {3} = 0}$ ${\ estilo de visualización t_ {2} = 2}$ ${\ estilo de visualización t_ {1} = 0}$

Sistema numérico de Fibonacci

El sistema numérico de Fibonacci se basa en los números de Fibonacci . Cada número natural en él se representa como: $norte$

n=\sum_{k}f_{k}F_{k}

, donde están los números de Fibonacci, , mientras que los coeficientes tienen un número finito de unidades y no hay dos unidades seguidas.

F_{k}

f_{k}\en \{0,1\}

f_{k}

Sistemas numéricos no posicionales

En los sistemas numéricos no posicionales, el valor que representa un dígito no depende de la posición en el número. En este caso, el sistema puede imponer restricciones en la posición de los números, por ejemplo, para que se ordenen de forma descendente.

Los sistemas numéricos no posicionales más comunes en la actualidad son los números romanos .

Sistema de numeración binomial

En el sistema numérico binomial el número x se representa como una suma de coeficientes binomiales :

x=\sum _{k=1}^{n}{c_{k} \elegir k}

, dónde

0\leq c_{1}<c_{2}<\dots <c_{n}.

Para cualquier valor fijo , cada número natural se representa de forma única. [una] $norte$

Sistema de Clase Residual (SOC)

La representación de un número en el sistema de clases de resto se basa en el concepto de residuo y el teorema chino del resto . RNS está definido por un conjunto de módulos coprimos por pares con un producto, de modo que cada número entero del intervalo está asociado con un conjunto de residuos , donde $(m_{1},m_{2},\puntos,m_{n})$ $M=m_{1}\cdot m_{2}\cdot \dots \cdot m_{n}$ $X$ $[0,M-1]$ $(x_{1},x_{2},\puntos,x_{n})$

x\equiv x_{1}{\pmod {m_{1}}};

x\equiv x_{2}{\pmod {m_{2}}};

…

x\equiv x_{n}{\pmod {m_{n}}}.

Al mismo tiempo, el teorema del resto chino garantiza la unicidad de la representación de los números del intervalo . $[0,M-1]$

En RNS, las operaciones aritméticas (suma, resta, multiplicación, división) se realizan componente por componente si se sabe que el resultado es un número entero y también se encuentra en . $[0,M-1]$

Las desventajas de RNS son la capacidad de representar solo un número limitado de números, así como la falta de algoritmos eficientes para comparar números representados en RNS. La comparación se suele realizar mediante la conversión de argumentos de RNS a un sistema numérico mixto en bases . $(m_{1},m_{1}\cdot m_{2},\dots ,m_{1}\cdot m_{2}\cdot \dots \cdot m_{n-1})$

Sistema numérico Stern-Brocot

El sistema numérico de Stern-Brocot es una forma de escribir números racionales positivos basados en el árbol de Stern-Brocot .

Véase también

Notas

↑ Lando S.K. Capítulo 1. Problema 1.13 // Clases sobre funciones generadoras . - 3ra ed., Rev. - M . : MTsNMO , 2007. - 144 p. - ISBN 978-5-94057-042-4 . (enlace no disponible)

Enlaces

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Fomin SV Sistemas de numeración . — M .: Nauka, 1987. — 48 p. - ( Clases populares de matemáticas ).
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Numerales y sistemas numéricos . Enciclopedia en línea alrededor del mundo.
Stakhov A. El papel de los sistemas numéricos en la historia de las computadoras . Archivado desde el original el 1 de mayo de 2009.
Mikushin A.V. Sistemas numéricos. Curso de conferencias "Dispositivos digitales y microprocesadores"
Butler JT, Sasao T. Sistemas numéricos redundantes de valores múltiples El artículo trata sobre los sistemas numéricos que utilizan dígitos mayores que uno y permiten la redundancia en la representación de los números.

diccionarios y enciclopedias	Gran catalán Brockhaus y Efron alrededor del mundo Pequeño Brockhaus y Efron croata Britannica (en línea)
En catálogos bibliográficos	TIERRA : 4117700-9 J9U : 987007538744805171 LCCN : sh85093233 NDL : 00762396 NKC : ph128225