Secuencia Padova

La versión actual de la página aún no ha sido revisada por colaboradores experimentados y puede diferir significativamente de la versión revisada el 10 de agosto de 2019; la verificación requiere 1 edición .

La secuencia de Padovan es una secuencia entera P ( n ) con valores iniciales

P(0)=P(1)=P(2)=1

y la relación de recurrencia lineal

P(n)=P(n-2)+P(n-3).

Los primeros valores de P ( n ) son

1, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 12, 16, 21, 28, 37, 49, 65, 86, 114, 151, 200, 265,… ( secuencia OEIS A000931 )

La secuencia de Padovan lleva el nombre de Richard Padovan , quien en su ensayo Dom. Hans van der Laan: Modern Primitive de 1994 atribuyó su descubrimiento al arquitecto holandés Hans van der Laan [1] . La secuencia se hizo ampliamente conocida después de que Ian Stuart la describiera en la columna Mathematical Recreations de Scientific American en junio de 1996 .

Relaciones recurrentes

La sucesión de Padovan obedece a las siguientes relaciones recursivas:

P(n)=P(n-1)+P(n-5)

P(n)=P(n-2)+P(n-4)+P(n-8)

P(n)=2P(n-2)-P(n-7)

P(n)=P(n-3)+P(n-4)+P(n-5)

P(n)=P(n-3)+P(n-5)+P(n-7)+P(n-8)+P(n-9)

P(n)=P(n-4)+P(n-5)+P(n-6)+P(n-7)+P(n-8)

P(n)=4P(n-5)+P(n-14).

La sucesión de Perrin satisface las mismas relaciones pero tiene diferentes valores iniciales. Las secuencias de Padovan y Perrin también están relacionadas por:

\mathrm {Perrin} (n)=P(n+1)+P(n-10).

Extensión a la región de los números negativos

La secuencia de Padovan se puede extender a la región de números negativos usando la relación de recurrencia

P(-n)=P(-n+3)-P(-n+1).

(esto es similar a extender la secuencia de Fibonacci a la región de índices negativos de la secuencia). Tal expansión de P ( n ) da los valores

…, −7, 4, 0, −3, 4, −3, 1, 1, −2, 2, −1, 0, 1, −1, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 1, una, …

Sumas de miembros

La suma de los primeros n términos de la sucesión es 2 menos que P ( n + 5), es decir

\sum _{{m=0}}^{n}P(m)=P(n+5)-2.

Las sumas de términos pares/impares, cada tercio y la suma de cada quinto término también se expresan mediante ciertas fórmulas:

\sum_{{m=0}}^{n}P(2m)=P(2n+3)-1

\sum_{{m=0}}^{n}P(2m+1)=P(2n+4)-1

\sum_{{m=0}}^{n}P(3m)=P(3n+2)

\sum_{{m=0}}^{n}P(3m+1)=P(3n+3)-1

\sum_{{m=0}}^{n}P(3m+2)=P(3n+4)-1

\sum _{{m=0}}^{n}P(5m)=P(5n+1).

Las sumas, incluidos los productos de los términos, satisfacen las siguientes relaciones:

\sum_{{m=0}}^{n}P(m)^{2}=P(n+2)^{2}-P(n-1)^{2}-P(n-3 )^{2}

\sum_{{m=0}}^{n}P(m)^{2}P(m+1)=P(n)P(n+1)P(n+2)

\sum _{{m=0}}^{n}P(m)P(m+2)=P(n+2)P(n+3)-1.

Otras proporciones

La sucesión de Padovan también satisface la dependencia

P(n)^{2}-P(n+1)P(n-1)=P(-n-7).

También se puede expresar en términos de coeficientes binomiales :

\sum _{2m+n=k}{m \elegir n}=P(k-2).

Por ejemplo, para k = 12, los valores del par ( m ; n ) para los cuales 2 m + n = 12 dando coeficientes binomiales distintos de cero son (6; 0), (5; 2) y (4; 4), y :

{6 \elegir 0}+{5 \elegir 2}+{4 \elegir 4}=1+10+1=12=P(10).

Fórmula de término general

Los términos de la sucesión de Padovan se pueden expresar en términos de las potencias de las raíces de la ecuación

{\ estilo de visualización x^{3}-x-1=0.}

Esta ecuación tiene tres raíces: una raíz real - el número plástico p ≈ 1.324718 y dos raíces complejas conjugadas q y r . Con su ayuda, puede escribir un análogo de la fórmula de Binet para el término general de la secuencia de Padovan:

P\left(n\right)={\frac {p^{n}}{\left(3p^{2}-1\right)))+{\frac {q^{n}}{\left( 3q^{2}-1\right)))+{\frac {r^{n}}{\left(3r^{2}-1\right))).

Dado que el valor absoluto de las raíces complejas q y r es menor que 1, entonces su n- ésima potencia tiende a 0 a medida que n crece . Por lo tanto, la fórmula asintótica es válida:

P\left(n\right)\approx {\frac {p^{n}}{\left(3p^{2}-1\right)))={\frac {p^{n}}{s} }\aprox. {\frac {p^{n}}{4,264632\ldots}},

donde s es la raíz real de la ecuación . Esta fórmula se puede utilizar para cálculos rápidos para n grande . $s^{3}-3s^{2}-23=0$ $P(n)$

La proporción de términos vecinos de la sucesión de Padovan tiende al número plástico p . Esta constante juega el mismo papel para las sucesiones de Padovan y Perrin que la proporción áurea para la sucesión de Fibonacci.

Interpretaciones combinatorias

P ( n ) es el número de formas de escribir n + 2 como la suma de 2 y 3, dado el orden. Por ejemplo, P (6) = 4, ya que hay 4 formas de escribir 8 como la suma de dos y tres con diferente orden de miembros:

2+2+2+2; 2 + 3 + 3 ; 3 + 2 + 3 ; 3+3+2

P (2 n - 2) es el número de formas de escribir n como una suma sensible al orden en la que ningún término es igual a 2. Por ejemplo, P (6) = 4, ya que hay 4 formas de escribir 4 así :

cuatro; 1+3; 3+1; 1+1+1+1

P ( n ) es el número de formas de escribir n como una suma palíndromo sensible al orden en la que ningún término es igual a 2. Por ejemplo, P (6) = 4, ya que hay 4 formas de escribir 6 de la forma anterior :

6; 3 + 3; 1+4+1; 1+1+1+1+1+1

P ( n − 4) es el número de formas de escribir n como una suma, dado el orden, en el que cada una es congruente con 2 módulo 3. Por ejemplo, P (6) = 4, ya que hay 4 formas de escribir el número 10 de esta manera:

8+2; 2+8; 5 + 5 ; 2+2+2+2+2

Función generadora

La función generadora de la sucesión de Padovan es:

G(P(n);x)={\frac {1+x}{1-x^{2}-x^{3}}}.

Esto se puede usar para probar relaciones que involucran los productos de la secuencia de Padovan y progresiones geométricas como esta:

\sum _{{m=0}}^{{\infty}}{\frac {P(n)}{2^{n}}}={\frac {12}{5}}.

Padova simple

Un primo de Padovan es P ( n ), que es un número primo . Los primeros Padovas simples son:

2, 3, 5, 7, 37, 151, 3329, 23833, … (secuencia A100891 en OEIS )

Generalizaciones

Polinomios de Padovan

Al igual que los números de Fibonacci , que se generalizan mediante un conjunto de polinomios (polinomios de Fibonacci ), la secuencia de Padovan también se puede generalizar mediante polinomios de Padovan .

Sistema L de Padovan

Si definimos esta gramática simple:

variable : ABC constantes : ninguna inicio : A reglas : (A → B), (B → C), (C → AB)

entonces tal sistema Lindenmeyer ( L-system ) da la siguiente secuencia de líneas:

n = 0 : A n = 1 : segundo n = 2 : C n = 3 : AB n = 4 : BC n = 5 : CABINA n = 6 : ABBC n = 7 : BCCAB n = 8 : CABABBC

y si contamos la longitud de cada uno de ellos, obtenemos la sucesión de Padovan:

1 1 1 2 2 3 4 5 7 …

Además, si contamos el número de caracteres A , B y C en cada línea, entonces para la n-ésima línea habrá P ( n − 5) caracteres A , P ( n − 3) caracteres B y P ( n − 4) personajes C. _ El número de pares BB , AA y CC también son números de Padovan.

Espiral cuboide de Padovan

La espiral cuboide Padovan se puede construir uniendo las esquinas de muchos cuboides 3D. Las longitudes de los lados sucesivos de la espiral son los términos de la sucesión de Padovan multiplicados por la raíz cuadrada de 2.

Notas

↑ Richard Padvan. Dom Hans van der Laan: primitivo moderno : Architectura & Natura Press, ISBN 9789071570407 .

Enlaces

Weisstein, Eric W. Padovan Sequence (inglés) en el sitio web de Wolfram MathWorld .
Richard Padovan, Dom Hans Van Der Laan y el número de plástico
Ian Stewart, Cuentos de un número olvidado
Calculadora de términos de secuencia de Padovan