Coeficiente binomial

El coeficiente binomial es el coeficiente delante del término en la expansión del binomio de Newton en potencias de . El coeficiente en se denota o y se lee “coeficiente binomial de por ” (o “número de combinaciones de por ”): $(1+x)^{n}$ $X$ $x^{k}$ $\textstyle {\binom {n}{k))$ $\textstyle C_n^k$ $norte$ $k$ $norte$ $k$

(1+x)^{n}={\binom {n}{0}}+{\binom {n}{1}}x+{\binom {n}{2}}x^{2} +\ldots +{\binom {n}{n}}x^{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}x^{k}

por los poderes naturales . $norte$

Los coeficientes binomiales también se pueden definir para exponentes reales arbitrarios . En el caso de un número real arbitrario, los coeficientes binomiales se definen como los coeficientes de la expansión de una expresión en una serie de potencias infinitas : $norte$ $norte$ $(1+x)^{n}$

{\displaystyle (1+x)^{n}=\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {n}{k))x^{k))

donde, en el caso de números enteros no negativos , todos los coeficientes de at se anulan y, por lo tanto, esta expansión es una suma finita. $norte$ $\textstyle {\binom {n}{k))$ $k>n$

En combinatoria , el coeficiente binomial para enteros no negativos y se interpreta como el número de combinaciones de by , es decir, como el número de todos los subconjuntos (no estrictos) ( muestras ) de tamaño en un conjunto de elementos . $\textstyle {\binom {n}{k))$ $norte$ $k$ $norte$ $k$ $k$ $norte$

Los coeficientes binomiales a menudo surgen en problemas de combinatoria y teoría de la probabilidad . Una generalización de los coeficientes binomiales son los coeficientes multinomiales .

Fórmulas explícitas

Al calcular los coeficientes en la expansión de la serie de potencias, se pueden obtener fórmulas explícitas para los coeficientes binomiales . $(1+x)^{n}$ $\textstyle {\binom {n}{k))$

Para todos los números reales y enteros : $norte$ $k$

{\binom {n}{k}}={\begin{casos}{\frac {n(n-1)(n-2)\cdot \ldots \cdot (n-k+1)}{ k!}},&k\geqslant 0\\0,&k<0\end{casos}}

donde denota el factorial de . $k!$ $k$

Para enteros no negativos y las fórmulas también son válidas: $norte$ $k$

{\binom {n}{k}}={\begin{casos}{\frac {n!}{k!(nk)!}}),&0\leqslant k\leqslant n\\0,&k > n\end{casos}}

Para exponentes enteros negativos, los coeficientes de expansión binomial son: ${\ estilo de visualización (1 + x) ^ {-n}}$

{\binom {-n}{k}}={\begin{casos}(-1)^{k}\cdot {\frac {(n+k-1)!}{k!(n- 1)!}},&k\geqslant 0\\0,&k<0\end{casos}}

Triángulo de Pascal

Identidad:

{n \elegir k}={n-1 \elegir k-1}+{n-1 \elegir k}

le permite ordenar los coeficientes binomiales para números enteros no negativos , en forma de triángulo de Pascal, en el que cada número es igual a la suma de dos más altos: $norte$ $k$

{\begin{matriz}n=0:&&&&&1&&&&\\n=1:&&&&1&&1&&&\\n=2:&&&1&&2&&1&&\\n=3:&&1&&3&&3&&1&\\n=4:&1&&4&&6&&4&&1\\\vdots &&\vdots &&\vdots && \vdots &&\vdots &\end{matriz}}

La mesa triangular propuesta por Pascal en su Tratado sobre el triángulo aritmético (1654) difiere de la aquí escrita por una rotación de 45°. Las tablas para mostrar los coeficientes binomiales se conocían antes ( Tartaglia , Omar Khayyam ).

Si en cada línea del triángulo de Pascal todos los números se dividen por (esta es la suma de todos los números en la línea ), entonces todas las líneas, a medida que van hacia el infinito, tomarán la forma de una función de distribución normal . $2^{n}$ $norte$

Propiedades

Generando funciones

Para un valor fijo , la función generadora de la secuencia de coeficientes binomiales es: $norte$ ${\tbinom {n}{0)),\;{\tbinom {n}{1)),\;{\tbinom {n}{2)),\dots$

\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {n}{k}}x^{k}=(1+x)^{n}

Para un valor fijo , la función generadora de la secuencia de coeficientes es: $k$ ${\tbinom {0}{k)),\;{\tbinom {1}{k)),\;{\tbinom {2}{k)),\dots$

\sum _{n}{\binom {n}{k}}y^{n}={\frac {y^{k}}{(1-y)^{k+1}}}

La función generadora bidimensional de los coeficientes binomiales para números enteros es: $\tbinom{n}{k}$ $n k$

\sum _{n,k}{\binom {n}{k}}x^{k}y^{n}={\frac {1}{1-y-xy}}

, o .

\sum _{n=0}^{\infty}\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}x^{k}y^{n}={ \frac{1}{1-y-xy}}

Divisibilidad

Del teorema de Luke se sigue que:

el coeficiente es impar en la notación binaria del número, las unidades no están en esos dígitos donde hay ceros en el número; $\textstyle {\binom {n}{k))$ $\iff$ $k$ $norte$
el coeficiente no es un múltiplo de un número primo en la representación -aria del número , todos los bits no exceden los bits correspondientes del número ; $\textstyle {\binom {n}{k))$ $pags$ $\iff$ $pags$ $k$ $norte$
en una secuencia de coeficientes binomiales : $\textstyle {\binom {n}{0)),\;{\binom {n}{1)),\;\ldots,\;{\binom {n}{n))$
- todos los números no son múltiplos de un número primo dado se pueden representar como , donde es un número natural ; $pags$ $\iff$ $norte$ $MP^{k}-1$ ${\ estilo de visualización m <p}$
- todos los números excepto el primero y el último son múltiplos del primo dado ; $pags$ $\iff$ $n=p^{k}$
- el número de números impares es igual a la potencia de dos, cuyo exponente es igual al número de unidades en la notación binaria del número ; $norte$
- los números pares e impares no pueden ser iguales;
- el número de números que no son múltiplos de un primo es igual a , donde los números son los dígitos de la notación -aria del número ; y el número , donde es la función sexual , es la longitud del registro dado. $pags$ $(a_{1}+1)\cdots (a_{m}+1)$ ${\displaystyle a_{1},\;\ldots,a_{m))$ $pags$ $norte$ $\textstyle m=\lpiso \log _{p}{n}\rpiso +1$ $\lpiso\cdot\rpiso$

Identidades básicas

${n \elegir k}={n-1 \elegir k-1}+{n-1 \elegir k}$ .
${\binom {n}{k}}=(-1)^{k}{\binom {-n+k-1}{k}}$ .
${n \elegir k}={n \elegir nk}$ (regla de simetría).
${n \elegir k}={\frac {n}{k}}{n-1 \elegir k-1}$ (entre paréntesis).
${n \elegir {\color {Verde}m}}{{\color {Verde}m} \elegir n-{\color {Verde}k}}={n \elegir {\color {Verde}k }}{{\color {Verde}k} \elegir n-{\color {Verde}m}}$ (reemplazo de índices).
${\displaystyle (nk){n \elegir k}=n{n-1 \elegir k))$ .

El binomio de Newton y sus consecuencias

${\displaystyle {n \elegir 0}+{n \elegir 1}+\ldots +{n \elegir n}=2^{n))$ , donde . $n\in \mathbb {N}$
$\sum _{i+j=m}{\binom {n}{j}}{\binom {n}{i}}(-1)^{j}={\begin{casos}{\ binom {n}{m/2)),&{\text{if}}\ m\equiv 0{\pmod {2)),\\0,&{\text{if}}\ m\equiv 1{ \pmod {2}}.\end{casos}}$
$\sum_{j=k}^{n} \binom{n}{j} (-1)^j = (-1)^k \binom{n-1}{k-1}$ .
${n \elegir 0}-{n \elegir 1}+\ldots +(-1)^{n}{n \elegir n}=0$ , donde . $n\in \mathbb {N}$
Una identidad más fuerte: , donde . ${\displaystyle {n \elegir 0}+{n \elegir 2}+\ldots +{n \elegir 2\lpiso n/2\rpiso}=2^{n-1))$ $n\in \mathbb {N}$
$\sum _{{k=-a}}^{{a}}(-1)^{{k}}{2a \elegir k+a}^{3}={\frac {(3a)!}{ (un!)^{3}}}$ ,

pero más generalmente

\sum _{k=-a}^{a}(-1)^{k}{a+b \elegir a+k}{b+c \elegir b+k}{c+a \elegir c+k}={\frac{(a+b+c)!}{a!\,b!\,c!}}

Convolución de Vandermonde y consecuencias

Convolución de Vandermonde :

{\displaystyle \sum _{k}{r \elegir m+k}{s \elegir nk}={r+s \elegir m+n))

donde un . Esta identidad se obtiene calculando el coeficiente at en la expansión , teniendo en cuenta la identidad . La suma se toma sobre todos los números enteros para los cuales . Para números reales arbitrarios , el número de términos distintos de cero en la suma será finito. $m,n\in \mathbb {Z} ,$ $r,s\in \mathbb {R}$ ${\ estilo de visualización x ^ {m + n}}$ ${\ estilo de visualización (1 + x) ^ {r} (1 + x) ^ {s))$ ${\ estilo de visualización (1 + x) ^ {r + s} = (1 + x) ^ {r} (1 + x) ^ {s))$ $k$ $\textstyle {r \elegir m+k}{s \elegir nk}\neq 0$ $r$ $s$

Corolario de la convolución de Vandermonde:

{n \elegir 0}{a \elegir un}-{n \elegir 1}{a+1 \elegir un}+\ldots +(-1)^{n}{n \elegir n}{a+n \ elegir a}=(-1)^{n}{a \elegir n}

Identidad más general:

\sum _{{i=0}}^{{p}}(-1)^{i}{p \elegir i}\prod _{{m=1}}^{{n}}{i+s_ {m} \elegir s_{m}}=0

si _

\sum_{{m=1}}^{n}{s_{m}}<p

Otra consecuencia de la convolución es la siguiente identidad: . ${\displaystyle {n \elegir 0}^{2}+{n \elegir 1}^{2}+\ldots +{n \elegir n}^{2}={2n \elegir n))$

Otras identidades

${\frac {4}{n}}\sum _{k=1}^{n}k^{2}{\binom {2n}{n+k}}=2^{2n}$ , donde es un número natural. $norte$
$\sum_{k=1}^{n}{\frac {(-1)^{k-1}}{k}}{n \elegir k}=\sum_{k=1}^ {n}{\frac{1}{k}}=H_{n}$ -ésimo número armónico . $norte$
La multisección de la serie da una identidad que expresa la suma de coeficientes binomiales con paso arbitrario y compensación como una suma finita de términos: $(1+x)^{n}$ $s$ $t$ $(0\leqslant t<s)$ $s$

{\binom {n}{t}}+{\binom {n}{t+s}}+{\binom {n}{t+2s}}+\ldots ={\frac {1}{ s}}\sum _{j=0}^{s-1}\left(2\cos {\frac {\pi j}{s}}\right)^{n}\cos {\frac {\pi (n-2t)j}{s}}

También hay igualdades:

{\begin{alignedat}{2}{\binom {n}{3}}&={\frac {n(n-1)(n-2)}{\color {Green}2}}- \sum _{i=2}^{n-1}{(ni)(n-i+1)}=\\&=n(n-1)(n-2)-\sum _{i=2 }^{n-1}{(ni)({\color {Verde}2}n-i+1)}=\\&=3{\binom {n}{3}}-2{\binom {n {3}};\\\end{alineado en}}

{\begin{alignedat}{2}{\binom {n}{4}}&={\frac {n(n-1)(n-2)(n-3)}{\color {Verde }2}}-\sum_{i=3}^{n-1}{(ni)\left(n(n-1)-\sum_{i_{0}=1}^{i-2} i_{0}\right)}=\\&=n(n-1)(n-2)(n-3)-\sum _{i=3}^{n-1}{(ni)\left ({\color {Verde}2}n(n-1)-\sum _{i_{0}=1}^{i-2}i_{0}\right)}=\\&=24{\binom {n}{4}}-23{\binom {n}{4}};\\\end{alineado en}}

{\begin{alignedat}{2}{\binom {n}{5}}&={\frac {n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)} {\color {Verde}2}}-\\&-\sum _{i=4}^{n-1}{(ni)\left(n(n-1)(n-2)-\sum _ {i_{0}=1}^{i-3}\sum _{i_{1}=1}^{i_{0}}i_{1}\right)}=\\&=n(n-1 )(n-2)(n-3)(n-4)-\\&-\sum _{i=4}^{n-1}{(ni)\left({\color {Verde}2} n(n-1)(n-2)-\sum_{i_{0}=1}^{i-3}\sum_{i_{1}=1}^{i_{0}}i_{1 }\right)}=\\&=120{\binom {n}{5}}-119{\binom {n}{5}}.\end{alineado en}}

De dónde viene:

{\binom {n}{3}}={\frac {\sum \limits _{i=2}^{n-1}{(ni)(2n-i+1))){2} }={\frac {\sum \limits _{i=2}^{n-1}{(ni)\left(2A_{n}^{1}-{\binom {i-1}{1)) \derecho)}}{2}};

{\binom {n}{4}}={\frac {\sum \limits _{i=3}^{n-1}{(ni)\left(2n(n-1)-\sum \limits _{i_{0}=1}^{i-2}i_{0}\right)}}{23}}={\frac {\sum \limits _{i=3}^{n-1 }{(ni)\left(2A_{n}^{2}-{\binom {i-1}{2}}\right)}}{23}};

{\begin{alignedat}{2}&{\binom {n}{5}}={\frac {\sum \limits _{i=4}^{n-1}{(ni)\left (2n(n-1)(n-2)-\sum \limits _{i_{0}=1}^{i-3}\sum \limits _{i_{1}=1}^{i_{0 }}i_{1}\right)}}{119}}=\\&={\frac {\sum \limits _{i=4}^{n-1}{(ni)\left(2A_{n }^{3}-{\binom {i-1}{3}}\right)}}{119}};\\\end{alineado en}}

{\binom {n}{k}}={\frac {\sum \limits _{i=k-1}^{n-1}{(ni)\left(2A_{n}^{k -2}-{\binom {i-1}{k-2}}\right)}}{k!-1}}

donde es el número de ubicaciones desde hasta . $A_{n}^{k}$ $norte$ $k$

Relaciones matriciales

Si tomamos una matriz cuadrada, contando los elementos a lo largo de los catetos del triángulo de Pascal y girando la matriz por cualquiera de las cuatro esquinas, entonces el determinante de estas cuatro matrices es ±1 para cualquier , y el determinante de la matriz con el vértice de el triángulo en la esquina superior izquierda es 1. $norte$ $norte$

En la matriz , los números de la diagonal repiten los números de filas del triángulo de Pascal ( ). Se puede descomponer en un producto de dos matrices estrictamente diagonales: la triangular inferior y la obtenida a partir de ella por transposición: ${\begin{bmatrix}{\tbinom {i+j}{i}}\end{bmatrix}}$ $i+j=\mathrm {Const}$ ${\ estilo de visualización i, j = 0,1, \ puntos}$

{\begin{bmatrix}{\binom {i+j}{i}}\end{bmatrix}}=UU^{T}

donde _ La matriz inversa k tiene la forma: $U={\begin{bmatrix}{\tbinom{i}{j}}\end{bmatrix}}$ $tu$

U^{-1}={\begin{bmatriz}(-1)^{i+j}{\binom {i}{j}}\end{bmatriz}}

Por lo tanto, es posible descomponer la matriz inversa k en un producto de dos matrices estrictamente diagonales: la primera matriz es triangular superior y la segunda se obtiene a partir de la primera por transposición, lo que nos permite dar una expresión explícita para la elementos inversos: ${\begin{bmatrix}{\tbinom {i+j}{i}}\end{bmatrix}}$

{\begin{bmatriz}{\binom {i+j}{i}}\end{bmatriz}}_{{m,n}}^{{-1}}=\sum_{{k=0}} ^{{p}}(-1)^{{m+n}}{\binom {k}{m}}{\binom {k}{n}}

, donde , , , .

i

j

metro

{\ estilo de visualización n = 0 \ puntos p}

Los elementos de una matriz inversa cambian cuando cambia su tamaño y, a diferencia de una matriz , no es suficiente asignar una nueva fila y columna. La columna de la matriz es un polinomio de grado en el argumento , por tanto, las primeras p columnas forman una base completa en el espacio de vectores de longitud +1, cuyas coordenadas pueden ser interpoladas por un polinomio de igual o menor grado . La fila inferior de la matriz es ortogonal a cualquier vector de este tipo. ${\begin{bmatrix}{\tbinom {i+j}{i}}\end{bmatrix}}$ $j$ ${\begin{bmatrix}{\tbinom {i+j}{i}}\end{bmatrix}}$ $j$ $i$ $pags$ $p-1$ ${\begin{bmatrix}{\binom {i+j}{i}}\end{bmatrix}}_{{m,n}}^{{-1}}$

{\begin{bmatrix}{\binom {i+j}{i}}\end{bmatrix}}_{{p,n}}^{{-1}}=\sum_{{k=0}} ^{{p}}(-1)^{{p+n}}{\binom {k}{p}}{\binom {k}{n}}=(-1)^{{p+n} }{\binom {p}{n}}

\sum _{{n=0}}^{{p}}(-1)^{{p+n}}{\binom {p}{n}}{P}_{{a}}(n) =0

para , donde es un polinomio de grado .

a<p

{Sartén)

a

Si un vector de longitud arbitraria puede ser interpolado por un polinomio de grado , entonces el producto escalar con filas (numeradas desde 0) de la matriz es cero. Usando la identidad anterior y la unidad del producto punto de la fila inferior de la matriz y la última columna de la matriz , obtenemos: $p+1$ $yo<p$ $i+1,i+2,\puntos,p$ ${\begin{bmatrix}{\binom {i+j}{i}}\end{bmatrix}}_{{m,n}}^{{-1}}$ ${\begin{bmatrix}{\binom {i+j}{i}}\end{bmatrix}}_{{m,n}}^{{-1}}$ ${\begin{bmatrix}{\tbinom {i+j}{i}}\end{bmatrix}}$

\sum _{n=0}^{p}(-1)^{p+n}{\binom {p}{n}}{n}^{p}=p!

Para un exponente mayor , puede establecer la fórmula recursiva: $pags$

\sum _{n=0}^{p}(-1)^{p+n}{\binom {p}{n}}{n}^{p+a}=p!{P} _ {2a}(p)={f}_{a}(p)

donde esta el polinomio

{P}_{2a+2}(p)=\sum _{x=1}^{p}x{P}_{2a}(x);\quad a\geqslant 0;\quad { P}_{0}(p)=1

Para probarlo, primero establecemos una identidad:

{f}_{a}(p+1)=\sum _{x=0}^{a}{(p+1)}^{x+1}{f}_{ax}(p )

Si necesita encontrar una fórmula para no todos los exponentes, entonces:

{P}_{2a}(p)={\frac {p}{{2}^{a}}}{\binom {p+a}{a}}{Q}_{a-1 }(p);\quad a>0

El coeficiente más alto es 1, tomará valores de a-1 para encontrar los otros coeficientes: ${Q}_{{a-1}}(p)$

{Q}_{{a-1}}(p)=p(p+1){T}_{{a-3}}(p)

para _

a\equiv 1{\pmod {2));a\geqslant 3

Asintóticas y estimaciones

${\binom {2n}{n}}\sim {\frac {2^{2n}}{\sqrt {\pi n}}}$ .
$\sum _{{k=0}}^{{m}}{\binom {n}{k}}\leqslant {\frac {n}{(n/2-m)^{2}}}2^ {{n-3}}$ en ( desigualdad de Chebyshev ). $m<{\frac{n}{2))$
$\sum \limits _{{k=0}}^{{m}}{\binom {n}{k}}\leqslant 2^{{nH({\frac {m}{n}})))}$ , en ( estimación de entropía ), donde es entropía . $m\leq {\frac{n}{2))$ $H(x)=-x\log _{2}x-(1-x)\log _{2}(1-x)$
$\sum _{{k=0}}^{{n/2-\lambda }}{\binom {n}{k}}\leqslant 2^{n}e^{{-2\lambda ^{2} /norte}}$ ( Desigualdad de Chernov ).

De la fórmula de Stirling se sigue directamente que para es verdadera . $\alfa \in(0;1)$ $C_{n}^{{\alpha n}}\sim {\sqrt {{\frac {1}{2\pi \alpha (1-\alpha )n))))\left({{\frac {1 }{\alpha }}}\right)^{{\alpha n}}\left({{\frac {1}{1-\alpha }}}\right)^{{(1-\alpha )n} }=\left({{\frac {1}{\alpha ^{\alpha }{(1-\alpha )}^{{(1-\alpha )))}}+o(1)}\right) ^{{n}}$

Polinomios enteros

Los coeficientes binomiales , ... son polinomios enteros de , es decir, toman valores enteros para valores enteros de , - esto es fácil de entender, por ejemplo, del triángulo de Pascal. Además, forman una base de polinomios de valores enteros, en los que todos los polinomios de valores enteros se expresan como combinaciones lineales con coeficientes enteros. [una] ${\tbinom {x}{0}}=1,{\tbinom {x}{1}}=x,{\tbinom {x}{2}}={\tfrac {x^{2}} {2}}-{\tfrac {x}{2}}$ $X$ $X$

Al mismo tiempo, la base estándar , … no permite expresar todos los polinomios enteros si solo se usan coeficientes enteros, ya que tiene coeficientes fraccionarios en potencias de . ${\ estilo de visualización 1, x, x ^ {2}}$ ${\tbinom {x}{2}}={\tfrac {x^{2}}{2}}-{\tfrac {x}{2}}$ $X$

Este resultado se generaliza a polinomios en muchas variables. Es decir, si un polinomio de grado tiene coeficientes reales y toma valores enteros para valores enteros de las variables, entonces $R(x_1, \puntos, x_m)$ $k$

R(x_{1},\puntos,x_{m})=P\left({\binom {x_{1}}{1}},\puntos,{\binom {x_{1}}{ k)),\puntos,{\binom {x_{m}}{1)),\puntos,{\binom {x_{m}}{k}}\right)

donde es un polinomio con coeficientes enteros. [2] $PAGS$

Algoritmos de cálculo

Los coeficientes binomiales se pueden calcular utilizando la fórmula recursiva si los valores de se almacenan en cada paso . Este algoritmo es especialmente efectivo si necesita obtener todos los valores para un archivo fijo . El algoritmo requiere memoria ( al calcular toda la tabla de coeficientes binomiales) y tiempo (suponiendo que cada número ocupa una unidad de memoria y las operaciones con números se realizan por unidad de tiempo), donde — « » es grande . ${\tbinom {n}{k}}={\tbinom {n-1}{k}}+{\tbinom {n-1}{k-1}}$ $norte$ $\tbinom{n}{k}$ $k={\overline {0,1,\;\ldots,n))$ $\tbinom{n}{k}$ $norte$ $En)$ $O(n^{2})$ $O(n^{2})$ $O$ $o$

Con un valor fijo , los coeficientes binomiales se pueden calcular mediante una fórmula recursiva con un valor inicial de . Este método requiere memoria y tiempo para calcular el valor . $k$ ${\tbinom {n}{k}}={\tfrac {n}{nk}}\cdot {\tbinom {n-1}{k}}$ ${\tbinom {k}{k}}=1$ $\tbinom{n}{k}$ $O(1)$ $En)$

Si desea calcular los coeficientes para un valor fijo , puede utilizar la fórmula para la condición inicial . En cada paso de iteración, el numerador se reduce en (el valor inicial es ) y el denominador se incrementa correspondientemente en (el valor inicial es ). Este método requiere memoria y tiempo para calcular el valor . $\tbinom{n}{k}$ $norte$ ${\tbinom {n}{k}}={\tfrac {n-k+1}{k}}\cdot {\tbinom {n}{k-1}}$ ${\tbinom{n}{0}}=1$ $una$ $norte$ $una$ $una$ $\tbinom{n}{k}$ $O(1)$ $OK)$

Notas

↑ Prasolov V. V. Capítulo 12. Polinomios con valores enteros // Polinomios . — M. : MTsNMO , 1999, 2001, 2003.
↑ Yu. Matiyasevich. Décimo problema de Hilbert. - Ciencias, 1993.

Literatura

Coeficientes binomiales // Diccionario enciclopédico de Brockhaus y Efron : en 86 volúmenes (82 volúmenes y 4 adicionales). - San Petersburgo. , 1890-1907.
Fuks D., Fuks M. Aritmética de coeficientes binomiales // Kvant . - 1970. - Nº 6 . - S. 17-25 .
Kuzmin OV Triángulo y pirámide de Pascal: propiedades y generalizaciones // Revista educativa de Soros . - 2000. - T. 6 , N º 5 . - S. 101-109 .
Lando S. K. Cálculo de sombras // VIII Escuela de Verano "Matemáticas Modernas". — Dubná, 2008.
Vinberg E. B. Sorprendentes propiedades aritméticas de los coeficientes binomiales // Educación matemática . - 2008. - Edición. 12 _ — págs. 33–42 .
Donald Knuth , Ronald Graham , Oren Patashnik . matemáticas concretas. Fundamentos matemáticos de la informática = Matemáticas Concretas. Una Fundación para la Informática. - 2do. — M .: Mir ; Binomio. Laboratorio de Conocimiento ; Williams , 1998-2009. - 703, 784 pág. — ISBN 95-94774-560-7 , 78-5-8459-1588-7.