Preacondicionamiento

El precondicionamiento (también precondicionamiento ) es el proceso de transformar las condiciones de un problema para su solución numérica más correcta . El preacondicionamiento generalmente se asocia con una disminución en el número de condición del problema.[ especificar ] . El problema precondicionado generalmente se resuelve mediante un método iterativo.

Preacondicionamiento para sistemas de ecuaciones algebraicas lineales

En álgebra lineal y matemáticas computacionales, el precondicionador de una matriz es si la matriz tiene un número de condición menor que y . También es más común decir que es un preacondicionador que solo , ya que el valor exacto suele ser computacionalmente costoso. Por lo tanto, el precondicionamiento a menudo se entiende como el cálculo de , más precisamente, el producto de un vector columna o una matriz de vectores columna por , que generalmente se realiza mediante paquetes de software complejos que utilizan métodos iterativos, donde, al final, los valores exactos no se calculan ni para , ni para .

El preacondicionamiento se usa en métodos iterativos cuando se resuelven sistemas de ecuaciones algebraicas lineales de la forma , ya que la tasa de convergencia para la mayoría de los solucionadores lineales iterativos aumenta con una disminución en el número de condición como resultado del preacondicionamiento. Los solucionadores de preacondicionamiento suelen ser más eficientes que el uso de solucionadores simples, como los solucionadores gaussianos , para matrices grandes y especialmente dispersas . Los solucionadores iterativos de precondicionamiento pueden usar métodos sin matriz , en los que la matriz de coeficientes no se almacena por separado y se accede a sus elementos a través de productos de matrices vectoriales.

Definición

En lugar de resolver el sistema original de ecuaciones algebraicas lineales, se puede resolver el sistema precondicionado , que se puede resolver mediante la forma , donde se cumple la condición , o resolver el sistema precondicionado de la izquierda: .

El resultado es la misma solución que en el sistema original, siempre que la matriz del preacondicionador sea no singular . El más común es el preacondicionamiento a la izquierda. El propósito del preacondicionamiento es reducir el número de condición del sistema preacondicionado izquierdo o derecho, o respectivamente. Una matriz preacondicionada o casi nunca se forma por separado. En cambio, la operación de preacondicionamiento se realiza solo en vectores listos para usar, que se obtienen como resultado del cálculo mediante métodos iterativos.

El uso es siempre un compromiso. Dado que el operador se aplica en cada paso del solucionador lineal iterativo, la operación debe ser fácil de calcular (en términos de tiempo de cálculo). El preacondicionador más rápido en este caso es , ya que . Obviamente, como resultado de la operación de dicho preacondicionador, se obtiene el sistema original. En el otro extremo, elegir , que dará , dará como resultado un número de condición óptimo de 1, lo que requerirá una iteración para que la solución converja. Sin embargo, en este caso , la complejidad de calcular el precondicionador es comparable a la complejidad de resolver el sistema original. Por lo tanto, es necesario elegir algún lugar entre estos dos casos extremos, tratando de obtener el mínimo número de iteraciones manteniendo la facilidad de cálculo . A continuación se describen algunos ejemplos de enfoques básicos de preacondicionamiento.

Métodos iterativos con preacondicionamiento

Los métodos iterativos con preacondicionamiento son, en la mayoría de los casos, matemáticamente equivalentes a los métodos iterativos estándar realizados en un sistema preacondicionado . Por ejemplo, el método de iteración estándar de Richardson para una solución se vería así

En el caso de un sistema precondicionado , el método precondicionado se vería así

Ejemplos de los métodos iterativos de preacondicionamiento más populares para sistemas lineales son el método de gradiente conjugado preacondicionado , el método de gradiente biconjugado y el método de residuos mínimos generalizados. En los métodos iterativos que calculan parámetros iterativos en términos de productos escalares, se requiere un cambio correspondiente en el producto escalar, junto con un cambio en

Interpretación geométrica

Para una matriz definida positiva simétrica, el precondicionador suele ser también simétrico y definido positivo. Después de eso, el operador de precondicionamiento también es simétrico y definido positivo. En este caso, el efecto deseado al aplicar el preacondicionador es cuadrar el preacondicionador y aun así mantener el producto escalar esférico con .