Descomposición de Cholesky

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La descomposición de Cholesky (método de la raíz cuadrada) es una representación de una matriz definida positiva simétrica en la forma , donde es una matriz triangular inferior con entradas estrictamente positivas en la diagonal. A veces la descomposición se escribe en la forma equivalente: , donde es una matriz triangular superior. La descomposición de Cholesky siempre existe y es única para cualquier matriz definida positiva simétrica. $A$ $A=LL^{T}$ $L$ $A=U^{T}U$ $U=L^{T}$

También hay una generalización de esta expansión al caso de matrices de valores complejos. Si es una matriz hermítica definida positiva , entonces hay una descomposición , donde es una matriz triangular inferior con elementos reales positivos en la diagonal, y es su matriz conjugada hermítica . $A$ $A=LL^{*}$ $L$ ${\ estilo de visualización L^{*}}$

La descomposición lleva el nombre del matemático francés nacido en Polonia André-Louis Cholesky (1875-1918).

Algoritmo

Los elementos de la matriz se pueden calcular, comenzando desde la esquina superior izquierda de la matriz, usando las fórmulas $L$

{\begin{alineado}l_{11}&={\sqrt {a_{11}}},\\l_{j1}&={\frac {a_{j1}}{l_{11}}} ,\quad j\in [2,n],\\l_{ii}&={\sqrt {a_{ii}-\sum _{p=1}^{i-1}l_{ip}^{2 }}},\quad i\in [2,n],\\l_{ji}&={\frac {1}{l_{ii}}}\left(a_{ji}-\sum _{p= 1}^{i-1}l_{ip}l_{jp}\right),\quad i\in [2,n-1],j\in [i+1,n].\end{alineado}}

La expresión debajo de la raíz siempre es positiva si es una matriz definida real positiva.

A

El cálculo es de arriba a abajo, de izquierda a derecha, es decir, primero y luego . $L_{{ij}}$ $L_{{ii}}$

Para matrices hermitianas de valores complejos, se utilizan las fórmulas

{\begin{alineado}l_{ii}&={\sqrt {a_{ii}-\sum _{p=1}^{i-1}l_{ip}l_{ip}^{*} }}),\quad i\in [2,n],\\l_{ji}&={\frac {1}{l_{ii}}}\left(a_{ji}-\sum _{p= 1 }^{i-1}l_{ip}l_{jp}^{*}\right),\quad i\in [2,n-1],j\in [i+1,n].\end { alineado}}

Aplicaciones

Esta descomposición se puede aplicar para resolver un sistema de ecuaciones lineales si la matriz es simétrica y definida positiva. Tales matrices surgen a menudo, por ejemplo, cuando se usa el método de mínimos cuadrados y se resuelven numéricamente ecuaciones diferenciales. $hacha = b$ $A$

Después de expandir , la solución se puede obtener resolviendo sucesivamente dos sistemas triangulares de ecuaciones: y . Esta forma de resolver a veces se llama el método de la raíz cuadrada . [1] En comparación con métodos más generales, como el método de Gauss o la descomposición LU , es numéricamente más estable y requiere aproximadamente la mitad de operaciones aritméticas. [2] $A=LL^{T}$ $X$ $Ly=b$ $L^{T}x=y$

La descomposición de Cholesky también se aplica en los métodos de Monte Carlo para generar variables aleatorias correlacionadas . Sea un vector de variables aleatorias normales estándar independientes y sea la matriz de covarianza deseada . Entonces el vector tendrá una distribución normal multivariada con media cero y matriz de covarianza . [3] $X$ ${\ estilo de visualización \ Sigma = LL^ {T}}$ ${\ estilo de visualización Y = LX}$ $\Sigma$

Implementación en paquetes de software matemático

SAS utiliza la función ROOT(matrix) , que forma parte del paquete SAS IML .
En los sistemas MATLAB , Octave , R , la descomposición se realiza mediante el comando U = chol(A) .
Maple y NumPy tienen el procedimiento cholesky en el módulo linalg .
Mathematica usa el procedimiento CholeskyDecomposition [A] .
MathCAD utiliza la función cholesky(A) para la descomposición
El GSL utiliza la función gsl_linalg_cholesky_decomp .
En la biblioteca de Google ceres-solver [4] .
La biblioteca Apache Commons Math (desde la versión 2.0) usa la clase CholeskyDecomposition [5] .
La biblioteca Torch tiene una función torch.potrf [6] .
En la librería JAMA del lenguaje de programación java.
La biblioteca de aceleración de análisis de datos de Intel contiene un algoritmocholesky::Batch.

Notas

↑ Verzhbitsky V. M. Fundamentos de los métodos numéricos. - M. : Escuela Superior , 2009. - 840 p. — ISBN 9785060061239 .
↑ William H. Press, Saul A. Teukolsky, William T. Vetterling, Brian P. Flannery. 2.9 Descomposición de Cholesky // Recetas numéricas en C. - 2ª edición. —Cambridge: Prensa de la Universidad de Cambridge. - ISBN 0-521-43108-5 .
↑ Martín Haugh . Archivado desde el original el 5 de enero de 2012. Generación de variables aleatorias correlacionadas .
↑ Ceres Solver: una biblioteca de optimización no lineal a gran escala (enlace no disponible) . Consultado el 7 de septiembre de 2017. Archivado desde el original el 2 de septiembre de 2017. (indefinido)
↑ CholeskyDecomposition Archivado el 7 de noviembre de 2017 en Wayback Machine .
↑ torch.potrf Archivado el 20 de agosto de 2017 en Wayback Machine .

Vectores y matrices

Vectores

Conceptos básicos	Vector en geometría Base base ortogonal Coordenadas vectoriales colinealidad ortogonalidad Dependencia lineal Espacio de columna
Tipos de vectores	Vector unitario vector axial vector isotrópico Normal colinealidad vector cero Vector de radio Vector propio
Operaciones sobre vectores	producto escalar producto vectorial producto mixto Producto pseudoescalar Producto cruzado doble
Tipos de espacio	espacio vectorial espacio afín espacio euclidiano Espacio pseudo-euclidiano espacio normado espacio minkowski

matrices

Conceptos básicos	Multiplicación de matrices matriz transpuesta Matriz conjugada hermítica Matriz simétrica matriz inversa valor propio Polinomio característico de una matriz
Matrices especiales	Matriz de identidad Matriz cero Matriz diagonal matriz lambda
Descomposiciones de matrices	descomposición LU Descomposición de Cholesky descomposición QR descomposición LUP valor singular de descomposición Descomposición espectral de una matriz

Otro

Métodos para resolver SLAE
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