El mapeo del panadero es un mapeo no lineal del cuadrado de la unidad sobre sí mismo, que exhibe un comportamiento caótico .
El nombre de "panadero de exhibición" proviene de su parecido con el amasado de masa .
Para obtener este mapeo, considere una secuencia simbólica de caracteres binarios (0 y 1) que es infinita en ambas direcciones
… S- 2 , S - 1 , S0 ; T1 , T2 , …Comparemos esta secuencia con dos números reales (en código binario)
x = 0. S 1 S 2 S 3 ... y = 0. S 0 S -1 S -2 ...Como en el sistema binario el desplazamiento del número entero a la izquierda por un dígito corresponde a la multiplicación por 2, el desplazamiento a la derecha corresponde a la división por 2, y llevando la parte fraccionaria al descarte del dígito más alto, es fácil para comprobar que cuando se desplaza la secuencia simbólica hacia la izquierda se obtienen nuevos valores
x' = 2x módulo 1 y' = 1 / 2 (y + [2x])donde [x] es el número entero y (mod 1) es la parte fraccionaria de x . Los puntos obtenidos al iterar el mapeo se denominan órbita del punto (x o , y o ) . Los puntos de la órbita se pueden identificar con los puntos del cuadrado unitario.
La transformación consiste en una compresión uniforme del cuadrado 2 veces en dirección vertical y estiramiento en dirección horizontal. Luego, la mitad derecha debe cortarse y colocarse a la izquierda. La acción de sus dos primeras iteraciones se muestra en la figura.
Obviamente, si en la secuencia de caracteres el primer dígito después del punto y coma es 0, entonces x se encuentra en la mitad izquierda del cuadrado, y si es 1, entonces en la derecha. Para una secuencia de caracteres aleatorios, los puntos de la órbita visitarán la mitad izquierda o derecha del cuadrado al azar. La existencia de un continuo de trayectorias complejas se considera uno de los sellos distintivos del caos.
Las órbitas periódicas del mapa se encuentran fácilmente a partir de la secuencia simbólica. Entonces, las secuencias simbólicas que consisten solo en 0 y 1 corresponden a puntos fijos (x, y) = (0, 0) y (1, 1) . La secuencia periódica (10) corresponde a una órbita de dos puntos (1/3, 2/3) y (2/3, 1/3) .
Cualquier x e y pueden aproximarse con precisión arbitrariamente mediante secuencias binarias 0.X o …X n y 0.Y o …Y m , donde n y m son lo suficientemente grandes. Por lo tanto, la órbita de la secuencia periódica (Y m …Y o X o …X n ) pasará arbitrariamente cerca de cualquier punto del cuadrado. Es decir, las órbitas periódicas inestables forman un conjunto denso en todas partes.
Estirar a lo largo del eje x conduce al hecho de que en cada iteración la distancia en la dirección horizontal entre cualquier par de puntos cercanos δx aumentará 2 veces. Por lo tanto, después de un cierto número de iteraciones (cuando δx 2 n se vuelve mucho mayor que 1), las trayectorias se moverán uniformemente en todo el cuadrado.
Se cree que el estado inicial de un sistema físico no se puede especificar de manera absolutamente exacta, es decir, siempre es necesario considerar algún área (aunque muy pequeña) de condiciones iniciales. Obviamente, durante las iteraciones de mapeo, cualquier área seleccionada se convertirá en una colección de franjas horizontales estrechas, que cubrirán uniformemente el cuadrado de la unidad. Después de tal mezcla, no tiene sentido hablar de la coordenada de la partícula, pero se puede calcular la probabilidad de que esté en un punto dado (para un mapeo dado, todos los puntos del cuadrado serán igualmente probables). La transformación del panadero es reversible; al iterar en la dirección opuesta, cualquier área se dividirá en franjas verticales estrechas y también se barajará alrededor de todo el cuadrado.
Una secuencia simbólica aleatoria infinita necesariamente (en algún lugar del infinito) contiene cualquier cadena Y m …Y o X o …X n (ver #Órbitas periódicas inestables ). Por lo tanto, la órbita de tal punto pasa arbitrariamente cerca de cada punto del cuadrado, y el promedio sobre la órbita ("tiempo") puede ser reemplazado por el promedio sobre el conjunto (la llamada hipótesis ergódica ).