Espacio del módulo

Un espacio de módulos en geometría algebraica es un espacio geométrico (por ejemplo, un espacio de esquema , complejo o algebraico ), cuyos puntos corresponden a alguna clase de objetos algebraico-geométricos , factorizados por alguna relación de equivalencia . Dichos espacios a menudo surgen como soluciones a problemas de clasificación: si el conjunto de objetos que nos interesan (por ejemplo, curvas algebraicas suaves de género , consideradas hasta el isomorfismo $A$ $R$ $gramo$ ) se puede proporcionar con la estructura de un espacio geométrico, entonces estos objetos se pueden parametrizar ingresando coordenadas en este espacio. En este contexto, el término "módulos" es sinónimo del término "parámetros": los espacios de módulos se entendían originalmente como espacios de parámetros, no espacios de objetos.

Historia

La teoría de los módulos surgió en el estudio de las funciones elípticas : existe una familia de diferentes campos de funciones elípticas (o sus modelos - curvas elípticas no isomorfas sobre ), parametrizadas por números complejos. Bernhard Riemann , propietario del término "módulos", demostró que las superficies compactas de Riemann del género dependen de parámetros complejos: módulos . $\matemáticas {C}$ ${\ Displaystyle g\ geqslant 2}$ ${\ estilo de visualización 3g-3}$

Definiciones

Sea algún esquema (espacio complejo o algebraico). Una familia de objetos parametrizados por un esquema (o, como suele decirse, sobre o con una base ) es un conjunto de objetos provistos de una estructura adicional consistente con la estructura de la base . Esta estructura se especifica explícitamente en cada caso particular. Un funtor de módulo (o un funtor de familia ) es un funtor contravariante de la categoría de esquemas (o espacios) a la categoría de conjuntos, definido de la siguiente manera: es el conjunto de clases de familias isomorfas sobre , y un mapeo está asociado con un morfismo tomando la familia inducida. $S$ $S$ $S$ $S$ ${\displaystyle \{X_{s}|s\en S,X_{s}\en A\))$ $S$ ${\ matemáticas {M}}$ ${\mathcal {M}}(S)$ $S$ ${\ estilo de visualización f: S \ a T}$ $f^{*}:{\mathcal {M}}(T)\to {\mathcal {M}}(S)$

Si el funtor de módulos se puede representar usando un esquema (o espacio) , entonces se llama espacio de módulos delgados para el funtor . En este caso, existe una familia universal con base , es decir, una familia arbitraria con base es inducida por la familia con la ayuda de un solo mapeo . ${\ matemáticas {M}}$ $METRO$ $METRO$ ${\ matemáticas {M}}$ $tu$ $METRO$ $T$ $S$ $tu$ ${\ estilo de visualización f: S \ a M}$

El funtor de módulos es representable en muy pocos casos, en relación con los cuales también se introdujo el concepto de espacio de módulos aproximados . El esquema se llama espacio de módulos aproximados para el funtor . si hay una transformación natural tal que $METRO$ ${\ matemáticas {M}}$ $\varphi:{\mathcal {M}}\to \mathrm {Hom} (\cdot,M)$

si es un campo algebraicamente cerrado , entonces el mapeo es biyectivo; $k$ $\varphi (\mathrm {Spec} \,K):{\mathcal {M}}(\mathrm {Spec} \,K)\to \mathrm {Hom} (\mathrm {Spec} \,K, METRO)$
para un esquema arbitrario y una transformación natural , existe un único morfismo tal que satisface la transformación natural asociada . $METRO'$ $\varphi ':{\mathcal {M}}\to \mathrm {Hom} (\cdot,M')$ ${\ estilo de visualización \ pi: M \ a M'}$ $\Pi :\mathrm {Hom} (\cdot ,M)\to \mathrm {Hom} (\cdot ,M')$ ${\ estilo de visualización \ varphi = \ Pi \ circ \ varphi '}$

Intuitivamente, los puntos cerrados del diagrama de módulo aproximado corresponden a los elementos , y la geometría de este diagrama refleja cómo los objetos de una clase pueden variar en familias. Por otro lado, puede que ya no exista una familia universal sobre un esquema aproximado de módulos. ${\ estilo de visualización A/R}$ $A$

Ejemplos

Curvas

Sea (respectivamente, ) el conjunto de clases de curvas conectadas suaves proyectivas isomórficas (respectivamente, curvas estables ) de género sobre un campo algebraicamente cerrado . Una familia de overs es un morfismo propio suave (plano) cuyas fibras son curvas suaves (estables) de género . Entonces existe un esquema aproximado de módulos (respectivamente, ) que es una variedad casi proyectiva (proyectiva) irreductible y normal sobre . [una] ${\displaystyle A/R=\mathbf {M}_{g))$ ${\ Displaystyle {\ overline {\ mathbf {M} _ {g}}}}$ ${\ Displaystyle g\ geqslant 2}$ $k$ $S$ ${\ estilo de visualización f: X \ a S}$ $gramo$ ${\ Displaystyle M_ {g}}$ ${\displaystyle {\overline {M_{g))))$ $k$

Paquetes de vectores

Sea el conjunto de clases de paquetes de vectores isomórficos de rango en una variedad algebraica . The family over es un conjunto de vectores en . En el caso de que sea una curva proyectiva no singular sobre un campo algebraicamente cerrado, existe una variedad proyectiva normal , que es un espacio de módulos aproximados de haces vectoriales semiestables de rango y grado en . Los haces de vectores estables están parametrizados por una subvariedad suave y abierta . Si y son coprimos, coincide con y es un espacio de módulos delgados [2] . ${\ estilo de visualización A/R}$ $norte$ $X$ $S$ ${\ estilo de visualización X \ veces S}$ $X$ ${\ Displaystyle {\ Overline {M_ {d, n}}}}$ $norte$ $d$ $X$ ${\ Displaystyle M_ {d, n} \ subconjunto {\ overline {M_ {d, n}}}}$ $d$ $norte$ ${\ Displaystyle M_ {d, n}}$ ${\ Displaystyle {\ Overline {M_ {d, n}}}}$

Notas

↑ Deligne, Pierre; Mumford, David. La irreductibilidad del espacio de curvas de un género dado // Publications Mathématiques de l'IHÉS. - París, 1969. - Vol. 36. - Pág. 75-109.
↑ PE Newstead. Introducción a los problemas de módulos y espacios de órbitas. — Springer-Verlag, 1978.

Literatura

Teoría del módulo - artículo de la Enciclopedia de Matemáticas . V. A. Iskovskikh
J. Harris, I. Morrison. Módulos de curvas. Curso introductorio / per. De inglés. edición S. K. Lando. - Moscú: Mir, 2004.
K. Okonek, M. Schneider, H. Spindler. Paquetes vectoriales en espacios proyectivos complejos / per. De inglés. edición Yu. I. Manina. - Moscú: Mir, 1984.