Procedimiento de cuchilla móvil de Robertson-Webb
El procedimiento "Moving Knife" de Robertson-Webb es un procedimiento para cortar con envidia un pastel bidimensional en tres participantes [1] . El procedimiento hace solo dos cortes, por lo que cada participante recibe una pieza entera.
La principal ventaja del procedimiento sobre el procedimiento anterior de "cuchillo móvil" de Stromqvist y el procedimiento posterior de "cuchillo móvil" de Barbanel-Brahms el uso de un solo cuchillo móvil. Para ello se aprovecha la bidimensionalidad de la tarta.
Procedimiento
Inicialmente, cada participante hace un corte vertical, de modo que el participante estima el pastel de la izquierda en exactamente 1/3. Se selecciona el corte más a la izquierda. Supongamos que Alice hizo este corte. Luego, Alice obtiene la pieza de la izquierda, que evalúa exactamente a 1/3. El resto debe dividirse entre los miembros restantes (Bob y Carl).
Tenga en cuenta que la participación de Alice se estima en no más de 1/3, y el resto en al menos 2/3 tanto para Bob como para Carl. Por lo tanto, si Bob y Carl obtienen al menos la mitad del saldo, no tienen motivos para estar celosos. El problema es Alice, cómo hacer que no se ponga celosa.
La solución se basa en la siguiente observación: para cualquier Alicia, puede colocar el cuchillo en tal ángulo y cortar la pieza restante en dos mitades iguales en sus ojos . Esto significa que Alice puede rotar el cuchillo sobre el resto del pastel para que en ambos lados del cuchillo en sus ojos las piezas queden iguales.
![{\ estilo de visualización \ alfa \ en [0,180 ^ {\ circ}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59617ac970130c2c27f811f19cb3cf204e47a9d9)
Cuando el cuchillo está en 0, Bob (débilmente) prefiere la pieza sobre el cuchillo o la pieza debajo del cuchillo (débilmente significa que las piezas pueden parecerle iguales y él prefiere ambas piezas por igual). Cuando el cuchillo está en ángulo , las piezas se invierten. Por lo tanto, según el teorema del valor intermedio , debe haber un ángulo en el que Bob piense que las piezas a ambos lados del cuchillo son iguales. Cuando el cuchillo toma este ángulo, Bob exclama "¡alto!". Se corta el pastel y Carl elige un trozo y Bob toma el trozo restante.
Análisis
Alicia no está celosa, porque para ella las tres piezas valen exactamente 1/3.
Bob y Carl no envidian a Alice, ya que su pieza se valora como máximo en 1/3 y la pieza de él como mínimo en (1/2)*(2/3) = 1/3.
Bob no está celoso de Carl porque sus piezas son (a sus ojos) iguales. Carl no está celoso de Bob ya que eligió la mejor de las piezas.
Dividiendo el pastel "malo"
El procedimiento de "cuchillo móvil" se puede adaptar para la división de funciones , es decir, un pastel con una puntuación global negativa [2] . En este caso, en la etapa inicial, no se selecciona la pieza izquierda, sino la derecha.
Véase también
- Procedimiento para mover el cuchillo
- El teorema del sándwich
Notas
- ↑ Robertson, Webb, 1998 , pág. 77–78.
- ↑ Robertson, Webb, 1998 , pág. ejercicio 5.10.
Literatura
- Jack Robertson, William Webb. Algoritmos de corte de torta: Sea justo si puede. - Natick, Massachusetts: AK Peters, 1998. - ISBN 978-1-56881-076-8 .