Teorema del valor intermedio

El teorema del valor intermedio (o teorema de Bolzano-Cauchy ) establece que si una función continua definida en un intervalo real toma dos valores, entonces toma cualquier valor entre ellos.

Redacción

Sea una función continua dada sobre un segmento Supongamos también sin pérdida de generalidad que Entonces para cualquiera existe tal que . $f\in C{\bigl (}[a,b]{\bigr )}.$ $f(a)\neq f(b),$ $f(a)=A<B=f(b).$ $C\en [A,B]$ $c\en[a,b]$ $f(c)=C$

Prueba

Consideremos la función Es continua en el segmento y .menor que mayor,finalalcero $g(x)=f(x)-C.$ $[a,b]$ ${\ estilo de visualización g (a) <0}$ ${\ estilo de visualización g (b)> 0.}$ $c\en[a,b]$ ${\ estilo de visualización g (c) = 0.}$ $[a,b]$ $x_{0}$ ${\ estilo de visualización g (x_ {0}) = 0}$ ${\ Displaystyle c = x_ {0}}$ $g(x_{0})\neq 0$ $g(x)$

Denotando el segmento resultante , lo dividimos nuevamente en dos segmentos de igual longitud, etc. Entonces, o después de un número finito de pasos llegamos al punto deseado , o bien obtenemos una secuencia de segmentos anidados que tiende a cero en longitud y tal que $[a_{1},b_{1}]$ $C$ ${\ estilo de visualización [a_ {n}, b_ {n}]}$

$g(a_{n})<0<g(b_{n}).$

Sea - un punto común de todos los segmentos (según el principio de Cantor , existe y es único) , Entonces y debido a la continuidad de la función $C$ ${\ estilo de visualización [a_ {n}, b_ {n}]}$ ${\ estilo de visualización n = 1,2,...}$ $c=\lím a_{n}=\lím b_{n},$ ${\ estilo de visualización g (x):}$

$g(c)=\lim g(a_{n})=\lim g(b_{n}).$

Porque el

$\lim g(a_{n})\leq 0\leq \lim g(b_{n}),$

lo conseguimos ${\ estilo de visualización g (c) = 0.}$

Consecuencias

(El teorema del cero de una función continua.) Si una función es continua en cierto segmento y toma signos opuestos en los extremos de este segmento, entonces hay un punto en el que es igual a cero . Formalmente: let y Then tal que $f\in C{\bigl (}[a,b]{\bigr)},$ $\operatorname {sgn} (f(a))\neq \operatorname {sgn} (f(b)).$ $\existe c\en [a,b]$ $f(c)=0.$
En particular, cualquier polinomio de grado impar tiene al menos un cero.

Nota

A veces (en los cursos de formación) el enunciado para el cero se denomina primer teorema de Bolzano - Cauchy , y el enunciado general se denomina segundo teorema [1] . De hecho son equivalentes. [2]

Generalización

El teorema de Bolzano-Cauchy se puede generalizar a espacios topológicos más generales . Cualquier función continua definida en un espacio topológico conexo que tome dos valores cualquiera también toma cualquier valor entre ellos. Notación formal: sean dados un espacio topológico conexo y una función Let and Then $f\colon X\to \mathbb{R}$ $(X,{\mathcal {T}}),$ $f\en C(X).$ $x_{1},x_{2}\en X,\;f(x_{1})=y_{1},\;f(x_{2})=y_{2},$ $y_{1}<y_{2}.$

\para todo y\en [y_{1},y_{2}]\;\existe x\en X\;f(x)=y.

En esta formulación, el teorema es un caso especial del teorema de que la imagen de un conjunto conexo bajo un mapeo continuo es conexa.

Historia

El teorema fue formulado de forma independiente por Bolzano en 1817 y por Cauchy en 1821.

Véase también

Notas

↑ Análisis matemático: funciones continuas . Fecha de acceso: 24 de enero de 2010. Archivado desde el original el 24 de noviembre de 2010. (indefinido)
↑ Shilov, 1969 , pág. 163.

Literatura

Shilov G. E. Análisis matemático (funciones de una variable). - M. : Nauka, 1969. - 528 p.