Convergencia uniforme

Sea un conjunto arbitrario , sea un espacio métrico y sea una secuencia de funciones. Se dice que una secuencia converge uniformemente [1] a una función si para cualquiera existe un número tal que para todos los números y todos los puntos la desigualdad $X$ $Y=(Y,d)$ $f_{n}\dos puntos X\a Y,\ n=1,2,\puntos$ $f_n$ $f\dos puntos X\a Y$ $\varepsilon >0$ $N_\varepsilon$ $n>N_{\varepsilon}$ $x\en X$

\left|f_{n}(x)-f(x)\right|<\varepsilon

Usualmente denotado . $f_{n}\flechas derechas f$

Esta condición es equivalente a

\lim _{{n\to \infty }}\sup _{{x\in X}}\left|f_{n}(x)-f(x)\right|=0.

Propiedades

Si es un espacio lineal normado y las sucesiones de funciones y convergen uniformemente en el conjunto , entonces las sucesiones y para cualquiera también convergen uniformemente en . $Y$ $f_{n}\dos puntos X\a Y$ $g_{n}\dos puntos X\a Y$ $n=1,2,\puntos$ $X$ $\{f_{n}+g_{n}\}$ $\{\alfa f_{n}\}$ $\alpha \in \mathbb{R}$ $X$

Para funciones de valor real (o, más generalmente, si es un anillo normado lineal ), la secuencia de aplicaciones converge uniformemente en el conjunto y la aplicación acotada, luego la secuencia también converge uniformemente en . $Y$ $f_{n}\colon X\to \mathbb{R}$ $X$ $g\colon X\to \mathbb{R}$ $\{gf_{n}\}$ $X$

Si es un espacio topológico , es un espacio métrico y una secuencia de aplicaciones continua en un punto converge uniformemente en el conjunto a una aplicación , entonces esta aplicación también es continua en un punto . $X$ $Y$ $x_{0}\en X$ $f_{n}\dos puntos X\a Y$ $X$ $f\dos puntos X\a Y$ $x_{0}$

Si una secuencia de funciones integrables de Riemann ( Lebesgue ) converge uniformemente en un intervalo a una función , entonces esta función también es integrable de Riemann (respectivamente, Lebesgue), y la igualdad se cumple para cualquier y la convergencia de una secuencia de funciones en un intervalo a un la función es uniforme. $f_{n}\colon [a,b]\to \mathbb{R}$ $[a,b]$ $f\colon [a,b]\to \mathbb{R}$ $x\en[a,b]$
     $\lim _{{n\to \infty}}\int \limits _{a}^{x}f_{n}(t)dt=\int \limits _{a}^{x}f(t)dt$

     $x\mapsto\int \limits _{a}^{x}f_{n}(t)dt$
$[a,b]$
     $x\mapsto\int \limits _{a}^{x}f(t)dt$

Si una sucesión de funciones continuamente diferenciables en un segmento converge en algún punto y una sucesión de sus derivadas converge uniformemente en , entonces la sucesión también converge uniformemente en y su límite es una función continuamente diferenciable en este segmento. $[a,b]$ $f_{n}\colon [a,b]\to \mathbb{R}$ $x_{0}$ $[a,b]$ $\{f_{n}\}$ $[a,b]$

Notas

↑ Kudryavtsev L. D. Convergencia uniforme // Enciclopedia matemática : [en 5 volúmenes] / Cap. edición I. M. Vinogradov . - M. : Enciclopedia soviética, 1984. - T. 4: Ok - Slo. - S. 787-789. - 1216 libras esterlinas. : enfermo. — 150.000 copias.

Literatura

Aleksandrov P. S. Introducción a la teoría de conjuntos y topología general, M., 1977.
Kolmogorov A. N., Fomin S. B. Elementos de la teoría de funciones y análisis funcional. 5ª ed., M., 1981.
Kelly J. L. Topología general. 2ª ed., M., 1951.
Medvedev F. A. Sobre la historia del concepto de convergencia uniforme de series. // Investigación histórica y matemática . - M. : Nauka , 1974. - Nº 19 . - S. 75-93 .