Una superficie racional es una superficie que es birracionalmente equivalente a un plano proyectivo , o, en otras palabras, una variedad racional dimensión dos. Las superficies racionales son las más simples de unas 10 clases de superficies en la clasificación de superficies complejas de Enriques-Kodaira , y estas fueron las primeras superficies exploradas.
Cualquier superficie racional no singular se puede obtener ampliando repetidamente la superficie racional mínima. Las superficies racionales mínimas son el plano proyectivo y las superficies de Hirzebruch Σ r para r = 0 o r ≥ 2.
Invariantes: Todos los plurigens son iguales a 0 y el grupo fundamental es trivial.
1 0 0 1 1+ norte 1 , 0 0 1donde n es 0 para el plano proyectivo, 1 para superficies de Hirzebruch y mayor que 1 para otras superficies racionales.
El grupo de Picard es un retículo unimodular imparI 1, n , excepto para las superficies de Hirzebruch Σ 2 m , para las cuales es un retículo unimodular par II 1,1 .
Guido Castelnuovo demostró que toda superficie compleja para la que q y P 2 (irregularidad y segundo plurigeno) son iguales a cero es racional. Se utiliza en la clasificación de Enriques-Kodaira para el reconocimiento de superficies racionales. Zariski [1] demostró que el teorema de Castelnuovo también es cierto para campos de característica positiva.
También se deduce del teorema de Castelnuovo que cualquier superficie compleja uniracional es racional. La mayoría de las variedades complejas uniracionales de dimensión 3 y superiores no son racionales. Para la característica p > 0, Zariski [1] encontró un ejemplo de superficies uniracionales ( superficies Zariski ) que no son racionales.
En un momento no estaba claro si las superficies complejas con cero q y P 1 eran racionales o no, pero Federigo Enríquez encontró un contraejemplo ( Enriquez surface ).