Superficie veronesa

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Una superficie de Veronese es una superficie algebraica en un espacio proyectivo de cinco dimensiones que se realiza como una imagen de la incrustación de Veronese . También hay una generalización de la incrustación veronesa a dimensiones arbitrarias de espacios proyectivos. Nombrado en honor al matemático italiano Giuseppe Veronese .

Definición

La superficie de Veronese es la imagen de la incrustación de Veronese, es decir, el mapeo

{\displaystyle \nu :\mathbb {P} ^{2}\to \mathbb {P} ^{5))

dado por fórmulas

\nu :[x:y:z]\mapsto [x^{2}:y^{2}:z^{2}:yz:xz:xy]

donde denota las coordenadas homogéneas de un punto en el plano proyectivo. ${\ estilo de visualización [x: \ ldots]}$

Motivación para la definición

La superficie de Veronese surge naturalmente en el estudio de las cónicas , especialmente cuando se prueba la afirmación "cinco puntos definen de manera única una cónica". Una cónica es una curva plana dada por la ecuación

Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dxz+Eyz+Fz^{2}=0,

que es cuadrático con respecto a las variables.Sin embargo, la composición con la incrustación de Veronese nos permite hacer que esta ecuación sea lineal (más precisamente, para obtener una cónica arbitraria, basta con cortar la superficie de Veronese con un hiperplano y tomar la imagen inversa de la intersección). Por el contrario, la condición de que la cónica contenga un punto es lineal con respecto a los coeficientes y, por lo tanto, reduce la dimensión del espacio en uno. Una afirmación más precisa es que cinco puntos en posición general definen cinco ecuaciones lineales independientes, esto se sigue del hecho de que bajo la incrustación de Veronese, los puntos en posición general van a puntos en posición general. ${\ estilo de visualización x, y, z.}$ ${\ estilo de visualización [x: y: z]}$ ${\ estilo de visualización (A, B, C, D, E, F)}$

Superficie veronesa y cónicas

La superficie de Veronese se puede relacionar con la geometría de las cónicas de otra manera, en un sentido dual al descrito anteriormente. Hemos visto que la cónica se define como , es decir, se le asocia un vector distinto de cero (por simplicidad, supondremos que el campo base es el campo de los números complejos). Los vectores proporcionales definen una misma cónica, por lo que de hecho las cónicas están parametrizadas por su proyectivización, . En otras palabras, las cónicas en el plano se pueden representar como puntos en un espacio proyectivo de cinco dimensiones; en este caso, el lápiz de cónicas estará representado por puntos que se encuentran en una línea recta, etc.. Como se sabe, las cónicas planas pueden ser degeneradas y no degeneradas, además, las degeneradas pueden ser un par de líneas o un doble linea. ¿Qué objetos geométricos paramerizan cónicas degeneradas? ${\ estilo de visualización \ mathbb {P} ^ {2}}$ $Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dxz+Eyz+Fz^{2}=0$ ${\ estilo de visualización (A, B, C, D, E, F) \ en \ mathbb {C} ^ {6}}$ ${\ estilo de visualización \ mathbb {P} ^ {5}}$ ${\ estilo de visualización \ mathbb {P} ^ {5}}$

La línea doble es una cónica con la ecuación . Las líneas simples y sencillas están parametrizadas por el plano proyectivo dual ; "duplicar" la línea recta definirá un mapeo desde el espacio que parametriza las cónicas. Expandiendo los corchetes, vemos cómo escribirlo explícitamente: , de donde tenemos , que es equivalente al mapeo veronés hasta una transformación lineal. ${\ estilo de visualización (Lx+Mi+Nz)^{2}=0}$ ${\ estilo de visualización \ mathbb {P} ^ {2}}$ $\left(\mathbb {P} ^{2}\right)^{*}$ ${\ estilo de visualización \ mathbb {P} ^ {5}}$ $(Lx+Mi+Nz)^{2}=L^{2}x^{2}+2LMxy+M^{2}y^{2}+2LNxz+2MNyz+N^{2}z^ {2}$ $(A,B,C,D,E,F)=(L^{2},2LM,M^{2},2LN,2MN,N^{2})$

Si la superficie de Veronese parametriza líneas dobles, ¿entonces qué parametriza el resto de las cónicas degeneradas? Es fácil escribir una ecuación para tal variedad: de hecho, la cónica puede considerarse como una forma cuadrática dada por la matriz . La desaparición de su determinante significa que la cónica correspondiente no es suave; ecuación de tercer grado en coeficientes de matriz, y define una hipersuperficie cúbica en . $Q={\begin{pmatrix}A&B/2&D/2\\B/2&C&E/2\\D/2&E/2&F\end{pmatrix)).$ ${\ estilo de visualización \ det Q = 0}$ ${\ estilo de visualización \ mathbb {P} ^ {5}}$

Esta hipersuperficie también tiene una realización geométrica. Como sabemos, las líneas en representan haces de cónicas planas. Es fácil demostrar que las rectas tangentes a la superficie de Veronese definen un lápiz de cónicas de la siguiente forma: fijamos una recta y un punto y giramos la segunda recta alrededor de este punto. Por lo tanto, la variedad de cuádricas degeneradas es la unión de todos los planos tangentes a la superficie de Veronese. ${\ estilo de visualización \ mathbb {P} ^ {5}}$ $\ana$ ${\ estilo de visualización p \ en \ ell}$

Hay dos hechos geométricos interesantes relacionados con esto. Como es sabido, en el espacio de cinco dimensiones, dos planos tomados al azar no tienen puntos comunes (al igual que en el espacio tridimensional, dos líneas rectas tomadas al azar se cortan). Sin embargo, dos planos que son tangentes a la superficie de Veronese tienen un punto de intersección: es decir, si tomamos los puntos de la superficie de Veronese correspondientes a líneas dobles con las ecuaciones y , entonces los planos tangentes en ellos tienen un punto común, que representa un cuádrica con la ecuación . Esto es aún más notable porque la superficie de Veronese no se encuentra en ningún hiperplano (y en el espacio proyectivo de cuatro dimensiones se cruzan dos planos). A modo de comparación, si una curva en tiene la propiedad de que dos de sus tangentes se cortan, entonces esta curva se encuentra en algún plano. ${\ estilo de visualización L_ {1} (x, y, z) ^ {2} = 0}$ ${\ estilo de visualización L_ {2} (x, y, z) ^ {2} = 0}$ ${\ estilo de visualización L_{1}L_{2}=0}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{4}\subconjunto \mathbb {P} ^{5))$ ${\ estilo de visualización \ mathbb {P} ^ {3}}$

Otro hecho, en cierta medida, es una reformulación del primero. En principio, podríamos considerar no la unión de todas sus rectas tangentes, sino la unión de todas sus secantes. Contendría una variedad de tangentes, ya que una tangente es la posición límite de una secante, pero podría ser más grande. De hecho, si dos puntos de la superficie de Veronese son líneas dobles con ecuaciones y , entonces las cónicas del lápiz generadas por ellos tendrán ecuaciones de la forma y, por lo tanto, tendrán una singularidad en el punto de intersección de las líneas y . Así, la variedad de secantes de una superficie veronesa se agota en la variedad de tangentes. Esta es una ocurrencia poco frecuente. Un cálculo ingenuo de dimensiones mostraría que la variedad secante es de cinco dimensiones: se requieren cuatro parámetros para determinar dos puntos en la superficie y uno más para determinar la posición de un punto en la cuerda que los subtiende. En el caso de una superficie general, este cálculo ingenuo de dimensiones funciona, y por lo tanto su variedad secante será todo . Por ejemplo, un cubo torcido (también llamado la curva de Veronese) se comporta de manera similar : a través de cualquier punto en el espacio, puede dibujar una línea recta que lo interseca dos veces (o lo toca en un punto, pero con una multiplicidad de dos) . En el caso de la superficie de Veronese, el cálculo de las dimensiones falla, porque por cada punto por el que pasa la secante, de hecho, no pasa uno, sino toda una familia de secantes de un solo parámetro. Este fenómeno se llama insuficiencia secante . ${\ estilo de visualización L_ {1} (x, y, z) ^ {2} = 0}$ ${\ estilo de visualización L_ {2} (x, y, z) ^ {2} = 0}$ $aL_{1}^{2}+bL_{2}^{2}=0$ ${\ estilo de visualización L_ {1} = 0}$ ${\ estilo de visualización L_ {2} = 0}$ ${\ estilo de visualización \ mathbb {P} ^ {5}}$ ${\ estilo de visualización \ mathbb {P} ^ {5}}$ ${\ estilo de visualización \ mathbb {P} ^ {3}}$

Esta asombrosa superficie persigue a los geómetras hasta el día de hoy, además, en las formas más inesperadas. Entonces, podemos considerar una cubierta doble ramificada en una curva de género seis: esta será una superficie K3 , denotada por la letra . La imagen inversa de una línea recta será una curva en esta superficie, es decir, una doble cubierta ramificada en seis puntos, es decir, una curva de género 2 . En consecuencia, una cónica en posición general se elevará a una cubierta de dos hojas ramificada en puntos. Del cálculo de la característica de Euler, tenemos . El sistema lineal de una curva de género en una superficie K3 es siempre -dimensional, es decir, no importa cómo deformemos la curva levantada en , seguirá siendo una elevación de alguna cónica (ya que las cónicas en el plano también vienen dadas por cinco parámetros). Con este sistema lineal se puede asociar la variedad de módulos de poleas con apoyos en tales curvas; será una variedad holomórficamente simpléctica con una fibración lagrangiana (el mapeo de una proyección es la asignación a un haz de su soporte, o, más precisamente, de la cuádrica de la que se levanta ese soporte). Es interesante porque su vector Mukai no es primitivo y, por lo tanto, no es uniforme. Sus capas especiales corresponden a curvas especiales. A veces, curvas especiales surgen de cuádricas suaves, en el caso más simple, aquellas que tienen una tangencia simple con la sexta ramificada. Pero todas las cuádricas especiales, por supuesto, se elevan a curvas especiales. En este caso, las fibras singulares sobre los puntos correspondientes a los pares de líneas también serán reducibles, una componente parametrizará los haces sobre la preimagen de una línea y la otra sobre la preimagen de la otra. Así, en el lugar geométrico discriminante de tal fibración lagrangiana habrá un componente dispuesto como una variedad de secantes de la superficie veronesa; las capas superiores serán reducibles y se dividirán en dos componentes. Además, la monodromía alrededor de la superficie veronesa permutará un par de líneas y, por lo tanto, dos componentes irreductibles de la fibra; si dicho paquete tuviera al menos una sección homológica, entonces necesariamente intersecaría ambas componentes irreductibles, y por lo tanto intersecaría una capa suave con multiplicidad 2, y no 1. Por lo tanto, tal paquete lagrangiano no admite una sección topológica, lo que da un contraejemplo a una hipótesis de Bogomolov . Por otro lado, modificando las capas especiales, se puede lograr que desaparezca la monodromía y aparezca una sección; pero esto cambia el tipo topológico de la variedad: del esquema de Hilbert se convierte en una excepcional variedad de O'Grady de 10 dimensiones . ${\ estilo de visualización \ mathbb {P} ^ {2}}$ $S$ ${\ estilo de visualización \ mathbb {P} ^ {1}}$ $2\cdot 6=12$ ${\ estilo de visualización 2-2g = 2 (2-12) + 12}$ ${\ estilo de visualización g = 5}$ $gramo$ $gramo$ $S$ $S$

Mapeo de Veronese

Un mapeo veronés del grado d de un espacio proyectivo n -dimensional es un mapeo

{\displaystyle \nu _{d}\colon \mathbb {P} ^{n}\to \mathbb {P} ^{m))

donde m viene dado por el coeficiente binomial :

m={n+d \elegir d}-1.

El mapa envía el punto a todos los monomios posibles desde la máxima potencia de d . El conjunto de tales monomios se denomina variedad veronesa . $[x_{0}:\ldots:x_{n}]$ ${\displaystyle x_{0},\ldots,x_{n))$

Para d bajo , el mapeo es trivial: para d = 0, obtenemos un mapeo a un solo punto , para d = 1, el mapeo de identidad; por lo tanto, se suele considerar el caso de d al menos dos. ${\ estilo de visualización \ mathbb {P} _ {0}}$

Uno puede definir el mapeo de Veronese de una manera independiente de las coordenadas, a saber

\nu _{d}:\mathbb {P} V\to \mathbb {P} ({\rm {{Sym}^{d}V)))

donde V es un espacio vectorial de dimensión finita y es su grado simétrico . ${\rm {{Sym}^{d}V))$

Curvas normales racionales

En , la imagen de la incrustación de Veronese se conoce como la curva normal racional . Pongamos ejemplos de curvas normales racionales de pequeñas dimensiones: $n=1$

Cuando la incrustación veronesa es el mapeo identitario de la línea proyectiva sobre sí misma. ${\ estilo de visualización n = 1, d = 1}$
Cuando una variedad de Veronese es una parábola en coordenadas afines ${\ estilo de visualización n = 1, d = 2}$ ${\ estilo de visualización [x^{2}:xy:y^{2}],}$ ${\ estilo de visualización (x, x ^ {2}).}$
Cuando una variedad Veronese es un cúbico torcido , en coordenadas afines ${\ estilo de visualización n = 1, d = 3}$ ${\ estilo de visualización [x^{3}:x^{2}y:xy^{2}:y^{3}],}$ ${\ estilo de visualización (x, x ^ {2}, x ^ {3}).}$

Biregularidad de la incrustación veronesa

La imagen de una variedad bajo la incrustación de Veronese es nuevamente una variedad e isomorfa a la primera (esto significa que hay una aplicación inversa, que también es regular ). Así, la incrustación veronesa es biregular .

De la biregularidad, en particular, se sigue que los puntos en posición general pasan a los puntos en posición general. De hecho, si las imágenes de los puntos satisficieran una ecuación no trivial, esta ecuación definiría una subvariedad cuya imagen inversa sería la subvariedad que contiene los puntos originales. También se puede usar para mostrar que cualquier variedad proyectiva es la intersección de una variedad veronesa y un espacio lineal, es decir, una intersección de cuádricas .

Literatura

Harris J. Geometría algebraica. Curso inicial. — M.: MTsNMO, 2005. ISBN 5-94057-084-4