Energía libre de Frank-Oseen

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La densidad de energía libre de Frank-Oseen (energía libre de deformación del cristal líquido) es una cantidad que describe el aumento en la densidad de energía libre del cristal líquido causado por la deformación del cristal a partir de una configuración con una distribución uniforme del campo director.

El nombre se le da en honor al físico británico Frederick Frank y al físico sueco Carl Oseen , quienes hicieron una gran contribución al estudio de los cristales líquidos [1] .

Cristal líquido nemático

La densidad de energía libre de deformación de un cristal líquido nemático es una medida del aumento en la densidad de energía libre debido a las desviaciones de la orientación del director de una uniforme. Por lo tanto, la densidad de energía libre total se puede escribir como:

{\mathcal {F}}_{T}={\mathcal {F}}_{0}+{\mathcal {F}}_{d}

donde es la energía libre total del cristal líquido; es la energía libre de un nemático con un campo director uniformemente distribuido; es la energía libre de las deformaciones. ${\mathcal {F}}_{T}$ ${\mathcal {F}}_{0}$ ${\mathcal {F}}_{d}$

{\mathcal {F}}_{d}={\frac {1}{2}}K_{1}(\operatorname {div} \mathbf {\hat {n}} )^{2}+ {\frac {1}{2}}K_{2}(\mathbf {\hat {n}} \cdot \operatorname {rot} \mathbf {\hat {n}} )^{2}+{\frac { 1}{2}}K_{3}(\mathbf {\hat {n}} \times \operatorname {rot} \mathbf {\hat {n}} )^{2}

Las constantes se llaman constantes de Frank . Suelen ser del orden de la dina [2] . Cada uno de los tres términos corresponde a un cierto tipo de deformación del nemático: el primero - flexión transversal , el segundo - torsión , el tercero - flexión longitudinal. La combinación de estos términos se puede utilizar para describir la deformación arbitraria de un cristal líquido. A menudo sucede que las tres constantes de Frank son del mismo orden, por lo que a menudo se asume [3] . Esta aproximación generalmente se conoce como la aproximación de una constante y se usa a menudo porque simplifica en gran medida la expresión de la energía libre de tensión: $K_{yo}$ $10^{-6}$ $K_{1}=K_{2}=K_{3}=K$

{\displaystyle {\mathcal {F}}_{d}={\frac {1}{2}}K((\operatorname {div} \mathbf {\hat {n}} )^{2}+(\ nombre del operador {rot} \mathbf {\hat {n}} )^{2})={\frac {1}{2}}K\parcial _ {\alpha }n_{\beta }\parcial _ {\alpha} n_{\beta))

Por lo general, se agrega un cuarto término a la energía libre, que se denomina energía de flexión del asiento y describe la interacción de la superficie. Este término, sin embargo, a menudo se ignora cuando se calcula la distribución del campo director, ya que la energía contenida en el volumen es mucho mayor que la energía asociada con los efectos de superficie. Está escrito como:

{\frac {1}{2}}K_{24}\nabla \cdot ((\mathbf {\hat {n)) \cdot \nabla )\mathbf {\hat {n)) -\mathbf { \mathbf {\sombrero {n)) } (\nabla \cdot \mathbf {\sombrero {n)) ))

Cristal líquido colestérico

Para los cristales líquidos que consisten en moléculas quirales , se agrega un término adicional a la densidad de energía libre de deformación. Cambia de signo cuando se invierte la dirección del director y viene dada por la fórmula:

{\mathcal {F}}_{Ch}=k_{2}(\mathbf {\hat {n}} \cdot \operatorname {rot} \mathbf {\hat {n}} )

El factor no depende del grado de quiralidad molecular [4] . Por lo tanto, para un cristal líquido colestérico, la energía libre total se escribe como: $k_{2}$

{\mathcal {F}}_{T}={\mathcal {F}}_{0}+{\frac {1}{2}}K_{1}(\operatorname {div} \mathbf { \hat {n}} )^{2}+{\frac {1}{2}}K_{2}(\mathbf {\hat {n}} \cdot \operatorname {rot} \mathbf {\hat {n )) +q_{0})^{2}+{\frac {1}{2}}K_{3}(\mathbf {\hat {n}} \times \operatorname {rot} \mathbf {\hat { n}} )^{2}

donde , y es el tono de la hélice colestérica. $q_{0}=2\pi /P_{0}$ $P_{0}$

Notas

↑ Stewart I. W. La teoría del continuo estático y dinámico de los cristales líquidos: una introducción matemática . - Nueva York: CRC Press , 2004. - xii + 351 p. - (Serie de libros de cristales líquidos). — ISBN 0-758-40895-9 . Archivado el 21 de noviembre de 2016 en Wayback Machine - P. 14-15.
↑ de Gennes & Prost, 1995 , p. 103.
↑ Chandrasekhar, 1992 , pág. 118.
↑ Chaikin y Lubensky, 1995 , pág. 299–300.

Literatura

Landau L.D. , Lifshitz E.M. Física estadística. Parte 1. 5ª ed. — M .: Fizmatlit , 2010. — 616 p. - ( Curso de Física Teórica, vol. V ). - ISBN 978-5-9221-0054-0 .
Chaikin P. M., Lubensky T. C. . Principios de Física de la Materia Condensada. - Cambridge: Cambridge University Press , 1995. - 699 p. — ISBN 0-521-43224-3 .
Chandrasekhar, Shivaramakrishna. . cristales líquidos 2ª edición. - Cambridge: Cambridge University Press , 1992. - xv + 460 p. — ISBN 0-521-41747-3 .
de Gennes P. G., Prost J. . La física de los cristales líquidos. 2ª edición. - Oxford: Clarendon Press, 1995. - 616 p. — ISBN 0-19-851785-8 .