En la teoría de grafos, un grafo libre de t - beaclick - es un grafo en el que no hay grafos bipartitos completos con 2 t vértices K t , t como subgrafos. Una familia de grafos está libre de bicliques si existe un número t tal que todos los grafos de la familia están libres de t -bicliques. Las familias de gráficos libres de bicicletas forman uno de los tipos más generales de familias de gráficos dispersos . Surgen en problemas de incidencia en geometría combinatoria y también se utilizan en la teoría de la complejidad paramétrica .
De acuerdo con el teorema de Kovari-Cos-Turan , cualquier gráfico t -sin bicicletas con n vértices tiene aristas O ( n 2 − 1/ t ) , es decir el gráfico es mucho más raro que el gráfico denso [1] . Por el contrario, si una familia de grafos está definida por subgrafos prohibidos o está cerrada bajo la toma de subgrafos y no incluye grafos densos de tamaño arbitrariamente grande, debe estar libre de t -bicliques para alguna t , de lo contrario, la familia debe incluir gráficos densos arbitrariamente grandes grafos completos grafos bipartitos
Como límite inferior, Erdős, Hajnal y Muun [2] conjeturaron que cualquier gráfico bipartito libre de t -biclique máxima (al que no se puede agregar un borde sin crear una t -biclique) tiene al menos ( t − 1)( n + m − t + 1) aristas, donde n y m son el número de vértices en cada una de las partes del gráfico [3] .
Un grafo con degeneración d está necesariamente libre de ( d + 1) -bicliques. Además, una familia de grafos sin biclique no debe ser denso en ninguna parte, lo que significa que para cualquier número k existe un grafo que no es un k - menor superficial de ningún grafo de la familia. En particular, si existe un grafo de n -vértices que no es un 1-menor superficial, entonces la familia debe estar libre de n -bicliques, ya que todos los gráficos con n vértices son 1-menores superficiales del grafo K n , n . Por lo tanto, las familias de grafos sin biclique unifican dos de las clases más generales de grafos dispersos [4] .
En geometría combinatoria, se sabe que muchos tipos de gráficos de incidencia están libres de bi-camarillas. Como ejemplo simple, el gráfico de incidencia de un conjunto finito de puntos y líneas en el plano euclidiano ciertamente no contiene un subgrafo K 2,2 [5] .
Los gráficos sin Biclique se utilizan en la teoría de la complejidad paramétrica para desarrollar algoritmos que son eficientes para gráficos dispersos con parámetros de entrada suficientemente pequeños. En particular, encontrar un conjunto dominante de tamaño k en gráficos t -biclick-free es un problema solucionable de parámetro fijo usando el parámetro k + t , aunque hay buenas razones por las que esto no es posible usando solo el parámetro k sin t . Los mismos resultados son válidos para muchas variantes del problema del conjunto dominante [4] . Verificar si el conjunto dominante tiene tamaño como máximo k también puede transformarse en otra verificación con la misma parametrización encadenando inserciones y eliminaciones de vértices, preservando la propiedad de dominancia [6] .